Упр.689 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задание учебника 2024 года

1. Решить уравнение: 1) $$x^2=7$$; 2) $$x^2=11$$; 3) $$x^2+6x=0$$; 4) $$x^2+5x=0$$; 5) $$x^2=8x$$; 6) $$x^2=12x$$.

Задание учебника 2013 года

1. Решить неравенство: 1) $$6x^2+x-1>0$$; 2) $$5x^2-9x+4>0$$; 3) $$x^2-2x+1?0$$; 4) $$x^2+10x+25>0$$; 5) $$-x^2+6x-9<0$$; 6) $$-4x^2-12x-9<0$$.

1. $$x^2=7$$

   $$x=\pm\sqrt7$$

2. $$x^2=11$$

   $$x=\pm\sqrt{11}$$

3. $$x^2+6x=0$$

   $$x(x+6)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-6$$

4. $$x^2+5x=0$$

   $$x(x+5)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-5$$

5. $$x^2=8x$$

   $$x^2-8x=0$$

   $$x(x-8)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=8$$

6. $$x^2=12x$$

   $$x^2-12x=0$$

   $$x(x-12)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=12$$

1. $$6x^2+x-1>0$$

   Решим уравнение $$6x^2+x-1=0$$:

   $$D=1+24=25$$

   $$x_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13$$

   Так как $$6>0$$, то выражение положительно вне корней:

   $$x\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(\tfrac13;+\infty)$$

2. $$5x^2-9x+4>0$$

   Решим уравнение $$5x^2-9x+4=0$$:

   $$D=81-80=1$$

   $$x_1=\frac{9-1}{10}=\frac45,\qquad x_2=\frac{9+1}{10}=1$$

   Так как $$5>0$$, то:

   $$x\in(-\infty;\tfrac45)\cup(1;+\infty)$$

3. $$x^2-2x+1\ge 0$$

   $$x^2-2x+1=(x-1)^2$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно при любом $$x$$.

   $$x\in\mathbb{R}$$

4. $$x^2+10x+25>0$$

   $$x^2+10x+25=(x+5)^2$$

   Квадрат равен нулю только при $$x=-5$$, а при всех остальных значениях положителен.

   $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$

5. $$-x^2+6x-9<0$$

   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

   $$x^2-6x+9>0$$

   $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

   Тогда:

   $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$

6. $$-4x^2-12x-9<0$$

   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

   $$4x^2+12x+9>0$$

   $$4x^2+12x+9=(2x+3)^2$$

   Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме $$x=-\frac32$$.

   $$x\in(-\infty;-\tfrac32)\cup(-\tfrac32;+\infty)$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt7$$; 2) $$x=\pm\sqrt{11}$$; 3) $$x=-6,\,0$$; 4) $$x=-5,\,0$$; 5) $$x=0,\,8$$; 6) $$x=0,\,12$$.
1) $$(-\infty;-\tfrac12)\cup(\tfrac13;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;\tfrac45)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$\mathbb{R}$$; 4) $$(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;-\tfrac32)\cup(-\tfrac32;+\infty)$$.