Упр.686 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) v12/v3+(v15 3)/v17+(v20-v45+3v125) :2v5;
2) v(5+2v6) •v(5-2v6) -v304/v19+v1331/v11.
Решить методом интервалов неравенство:
1) x/(x-2)+3/x>3/(x-2);
2) x^2/(x^2+3x)+(2-x)/(x+3)<(5-x)/x; 3) (x^2-7x-8)/(x^2-64)<0; 4) (x^2+7x+10)/(x^2-4)>0;
5) (5x^2-3x-2)/(1-x^2 )?0;
6) (x^2-16)/(2x^2+5x-12)>0.

1) $$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{153}}{\sqrt{17}}+\left(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{125}\right):2\sqrt{5}$$

$$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{17}}{\sqrt{17}}+\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3\cdot 5\sqrt{5}\right):2\sqrt{5}$$
$$=2+3+\frac{-\sqrt{5}+15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=5+\frac{14\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=5+7=12.$$

2) $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{304}}{\sqrt{19}}+\frac{\sqrt{1331}}{\sqrt{11}}$$

$$\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}-\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{19}}+\frac{11\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$$
$$=\sqrt{25-24}-4+11=\sqrt{1}+7=8.$$

3) $$\frac{x}{x-2}+\frac{3}{x}>\frac{3}{x-2}$$

$$\frac{x^2+3(x-2)-3x}{x(x-2)}>0$$
$$\frac{x^2+3x-6-3x}{x(x-2)}>0$$
$$\frac{x^2-6}{x(x-2)}>0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt{6},\;0,\;2,\;\sqrt{6}.$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in(-\infty;-\sqrt{6})\cup(0;2)\cup(\sqrt{6};+\infty).$$

4) $$\frac{x^2+3x+2}{x^2+3x}<\frac{5-x}{x}$$

$$\frac{x^2+x(2-x)-(5-x)(x+3)}{x(x+3)}<0$$ $$\frac{x^2+2x-x^2-5x-15+x^2+3x}{x(x+3)}<0$$ $$\frac{x^2-15}{x(x+3)}<0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt{15},\;-3,\;0,\;\sqrt{15}.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-\sqrt{15};-3)\cup(0;\sqrt{15}).$$

5) $$\frac{x^2-7x-8}{x^2-64}<0$$

$$x^2-7x-8=(x-8)(x+1),\qquad x^2-64=(x-8)(x+8).$$

После сокращения знаков на промежутках получаем критические точки $$x=-8,\,-1,\,8.$$

Ответ по методу интервалов:

$$x\in(-8;-1).$$

6) $$\frac{x^2+7x+10}{x^2-4}>0$$

$$x^2+7x+10=(x+5)(x+2),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-5,\,-2,\,2.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-\infty;-5)\cup(2;+\infty).$$

7) $$\frac{5x^2-3x-2}{1-x^2}\ge 0$$

$$5x^2-3x-2=(5x+2)(x-1),\qquad 1-x^2=(1-x)(1+x).$$

Критические точки: $$x=-1,\,-\frac{2}{5},\,1.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-1;-\frac{2}{5}]\cup(1;+\infty).$$

8) $$\frac{x^2-16}{2x^2+5x-12}>0$$

$$x^2-16=(x-4)(x+4),$$
$$2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4).$$

Критические точки: $$x=-4,\;\frac{3}{2},\;4.$$

По методу интервалов:

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(-4;\frac{3}{2}\right)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

1) $$12$$; 2) $$8$$; 3) $$(-\infty;-\sqrt{6})\cup(0;2)\cup(\sqrt{6};+\infty)$$; 4) $$(-\sqrt{15};-3)\cup(0;\sqrt{15})$$; 5) $$(-8;-1)$$; 6) $$(-\infty;-5)\cup(2;+\infty)$$; 7) $$(-1;-\frac{2}{5}]\cup(1;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;-4)\cup\left(-4;\frac{3}{2}\right)\cup(4;+\infty)$$.