Упр.685 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростить: 1) $$\sqrt{3}-5\sqrt{108}+\frac{1}{2}\sqrt{12}$$; 2) $$-\frac{1}{2}\sqrt{72}+4\sqrt{0{,}08}-2\sqrt{2}$$.
Решить методом интервалов неравенство: 1) $$\frac{x^2+3x-10}{x^2+x-2}\ ?\ 0$$; 2) $$\frac{x^2-3x-4}{x^2+x-6}\ ?\ 0$$.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$\sqrt{3}-5\sqrt{108}+\frac12\sqrt{12}$$
$$=\sqrt{3}-5\sqrt{36\cdot 3}+\frac12\sqrt{4\cdot 3}$$
$$=\sqrt{3}-5\cdot 6\sqrt{3}+\frac12\cdot 2\sqrt{3}$$
$$=\sqrt{3}-30\sqrt{3}+\sqrt{3}=-28\sqrt{3}.$$

$$-\frac12\sqrt{72}+4\sqrt{0{,}08}-2\sqrt{2}$$
$$=-\frac12\sqrt{36\cdot 2}+4\sqrt{0{,}04\cdot 2}-2\sqrt{2}$$
$$=-\frac12\cdot 6\sqrt{2}+4\cdot 0{,}2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$
$$=-3\sqrt{2}+0{,}8\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-4{,}2\sqrt{2}.$$

2) Решим неравенства методом интервалов.

$$\frac{x^2+3x-10}{x^2+x-2}\le 0$$
$$x^2+3x-10=(x+5)(x-2),$$
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Нули числителя: $$x=-5,\; x=2.$$

Нули знаменателя: $$x=-2,\; x=1.$$

Точки разбивают числовую прямую на интервалы. По знакам множителей получаем, что неравенство выполняется на промежутках

$$[-5;-2)\cup(1;2].$$

$$\frac{x^2-3x-4}{x^2+x-6}\ge 0$$
$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1),$$
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

Нули числителя: $$x=-1,\; x=4.$$

Нули знаменателя: $$x=-3,\; x=2.$$

По знакам на промежутках получаем решение:

$$(-\infty;-3)\cup[-1;2)\cup[4;+\infty).$$