Упр.684 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Вынести множитель из-под знака корня:

1) $$\sqrt{16xy^2}$$, где $$x \ge 0$$, $$y < 0$$;
2) $$\sqrt{45x^3y^5}$$, где $$x < 0$$, $$y < 0$$.
Решить методом интервалов неравенство:

1) $$\frac{x^2-x-12}{x-1}>0$$;

2) $$\frac{x^2-4x-12}{x-2}<0$$.

Подробный ответ

$$\sqrt{16xy^2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{y^2}=4|y|\sqrt{x}.$$
Так как $$y<0,$$ то $$|y|=-y.$$ Следовательно,
$$\sqrt{16xy^2}=-4y\sqrt{x}.$$
$$\sqrt{45x^3y^5}=\sqrt{9\cdot 5\cdot x^2\cdot x\cdot y^4\cdot y}$$
$$=3|x|y^2\sqrt{5xy}.$$
Так как $$x<0,$$ то $$|x|=-x.$$ Тогда
$$\sqrt{45x^3y^5}=-3xy^2\sqrt{5xy}.$$
Решим неравенство
$$\frac{x^2-x-12}{x-1}>0.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{(x-4)(x+3)}{x-1}>0.$$
Критические точки: $$x=-3,\;1,\;4.$$
По методу интервалов получаем:
$$x\in(-3;1)\cup(4;+\infty).$$
Решим неравенство
$$\frac{x^2-4x-12}{x-2}<0.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-4x-12=(x-6)(x+2).$$
Тогда
$$\frac{(x-6)(x+2)}{x-2}<0.$$
Критические точки: $$x=-2,\;2,\;6.$$
По методу интервалов получаем:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(2;6).$$