Упр.681 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Вычислить:

1) $$\sqrt{10}\cdot\sqrt{160}$$;

2) $$\sqrt{\frac{1}{5}}\cdot\sqrt{\frac{1}{5}}$$;

3) $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{33}$$;

4) $$\sqrt{7}\cdot\sqrt{21}\cdot\sqrt{3}$$;

5) $$(3\sqrt{12}+2\sqrt{3})^2$$;

6) $$(2\sqrt{2}-3\sqrt{32})^2$$.
Решить методом интервалов неравенство:

1) $$\frac{x^2-2x+3}{(x-2)^2}\ ?\ 0$$;

2) $$\frac{(x+4)^2}{2x^2-3x+1}\ ?\ 0$$;

3) $$\frac{x^2-x}{x^2-4}>0$$;

4) $$\frac{9x^2-4}{x-2x^2}<0$$.

Подробный ответ

$$\sqrt{10}\cdot \sqrt{160}=\sqrt{10\cdot 160}=\sqrt{1600}=40.$$
$$\sqrt{\frac15}\cdot \sqrt{\frac15}=\sqrt{\frac15\cdot \frac15}=\sqrt{\frac1{25}}=\frac15.$$
$$\sqrt3\cdot \sqrt{11}\cdot \sqrt{33}=\sqrt{3\cdot 11\cdot 33}=\sqrt{33\cdot 33}=33.$$
$$\sqrt7\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt3=\sqrt{7\cdot 21\cdot 3}=\sqrt{21\cdot 21}=21.$$
$$(3\sqrt{12}+2\sqrt3)^2=(3\sqrt{12})^2+2\cdot 3\sqrt{12}\cdot 2\sqrt3+(2\sqrt3)^2$$
$$=9\cdot 12+12\sqrt{36}+4\cdot 3=108+12\cdot 6+12=192.$$
$$(2\sqrt2-3\sqrt{32})^2=(2\sqrt2)^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\sqrt{32}+(3\sqrt{32})^2$$
$$=4\cdot 2-12\sqrt{64}+9\cdot 32=8-12\cdot 8+288=200.$$

$$\frac{x^2-2x+3}{(x-2)^2}\le 0$$
Числитель:
$$x^2-2x+3=0,\qquad D=4-12=-8<0.$$ Значит, $$x^2-2x+3>0$$ при всех $$x$$. Знаменатель $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$, а при $$x=2$$ выражение не определено. Следовательно, дробь всегда положительна и не может быть $$\le 0$$. Решений нет.
$$\frac{(x+4)^2}{2x^2-3x+1}\ge 0$$
Разложим знаменатель:
$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).$$
Нули числителя и знаменателя:
$$x=-4,\qquad x=\frac12,\qquad x=1.$$
Так как числитель $$(x+4)^2\ge 0$$, знак дроби определяется знаком знаменателя, а при $$x=-4$$ значение равно $$0$$.
По методу интервалов получаем:
$$(-\infty;\,0{,}5)\cup(1;\,+\infty).$$
$$\frac{x^2-x}{x^2-4}>0$$
Разложим на множители:
$$\frac{x(x-1)}{(x-2)(x+2)}>0.$$
Критические точки:
$$x=-2,\;0,\;1,\;2.$$
По знакам на промежутках:
$$(-\infty;\,-2),\quad (0;\,1),\quad (2;\,+\infty).$$
$$\frac{9x^2-4}{x-2x^2}<0$$
Разложим на множители:
$$9x^2-4=(3x-2)(3x+2),\qquad x-2x^2=x(1-2x).$$
Тогда
$$\frac{(3x-2)(3x+2)}{x(1-2x)}<0.$$
Критические точки:
$$x=-\frac23,\;0,\;\frac12,\;\frac23.$$
По методу интервалов:
$$(-\infty;\,-\frac23)\cup(0;\,0{,}5)\cup(\frac23;\,+\infty).$$

Ответ

1) $$40$$; 2) $$\frac15$$; 3) $$33$$; 4) $$21$$; 5) $$192$$; 6) $$200$$; 7) $$\varnothing$$; 8) $$(-\infty;\,0{,}5)\cup(1;\,+\infty)$$; 9) $$(-\infty;\,-2)\cup(0;\,1)\cup(2;\,+\infty)$$; 10) $$(-\infty;\,-\frac23)\cup(0;\,0{,}5)\cup(\frac23;\,+\infty)$$.