Упр.681 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) v10•v160;
2) v(1/5)•v(1/5);
3) v3•v11•v33;
4) v7•v21•v3;
5) (3v12+2v3)^2;
6) (2v2-3v32)^2.
Решить методом интервалов неравенство:
1) (x^2-2x+3)/(x-2)^2 ?0;
2) (x+4)^2/(2x^2-3x+1)?0;
3) (x^2-x)/(x^2-4)>0;
4) (9x^2-4)/(x-2x^2 )<0.

1. $$\sqrt{10}\cdot \sqrt{160}=\sqrt{10\cdot 160}=\sqrt{1600}=40.$$
2. $$\sqrt{\frac15}\cdot \sqrt{\frac15}=\sqrt{\frac15\cdot \frac15}=\sqrt{\frac1{25}}=\frac15.$$
3. $$\sqrt3\cdot \sqrt{11}\cdot \sqrt{33}=\sqrt{3\cdot 11\cdot 33}=\sqrt{33\cdot 33}=33.$$
4. $$\sqrt7\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt3=\sqrt{7\cdot 21\cdot 3}=\sqrt{21\cdot 21}=21.$$
5. $$ (3\sqrt{12}+2\sqrt3)^2=(3\sqrt{12})^2+2\cdot 3\sqrt{12}\cdot 2\sqrt3+(2\sqrt3)^2 $$
   $$ =9\cdot 12+12\sqrt{36}+4\cdot 3=108+12\cdot 6+12=192. $$
6. $$ (2\sqrt2-3\sqrt{32})^2=(2\sqrt2)^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\sqrt{32}+(3\sqrt{32})^2 $$
   $$ =4\cdot 2-12\sqrt{64}+9\cdot 32=8-12\cdot 8+288=200. $$

7. $$ \frac{x^2-2x+3}{(x-2)^2}\le 0 $$
   Числитель:
   $$ x^2-2x+3=0,\qquad D=4-12=-8<0. $$ Значит, $x^2-2x+3>0$ при всех $x$. Знаменатель $(x-2)^2>0$ при $x\ne 2$, а при $x=2$ выражение не определено. Следовательно, дробь всегда положительна и не может быть $\le 0$. Решений нет.
8. $$ \frac{(x+4)^2}{2x^2-3x+1}\ge 0 $$
   Разложим знаменатель:
   $$ 2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1). $$
   Нули числителя и знаменателя:
   $$ x=-4,\qquad x=\frac12,\qquad x=1. $$
   Так как числитель $(x+4)^2\ge 0$, знак дроби определяется знаком знаменателя, а при $x=-4$ значение равно $0$.

   По методу интервалов получаем:
   $$ (-\infty;\,0{,}5)\cup(1;\,+\infty). $$

9. $$ \frac{x^2-x}{x^2-4}>0 $$
   Разложим на множители:
   $$ \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+2)}>0. $$
   Критические точки:
   $$ x=-2,\;0,\;1,\;2. $$
   По знакам на промежутках:
   $$ (-\infty;\,-2),\quad (0;\,1),\quad (2;\,+\infty). $$
10. $$ \frac{9x^2-4}{x-2x^2}<0 $$
    Разложим на множители:
    $$ 9x^2-4=(3x-2)(3x+2),\qquad x-2x^2=x(1-2x). $$
    Тогда
    $$ \frac{(3x-2)(3x+2)}{x(1-2x)}<0. $$
    Критические точки:
    $$ x=-\frac23,\;0,\;\frac12,\;\frac23. $$
    По методу интервалов:
    $$ (-\infty;\,-\frac23)\cup(0;\,0{,}5)\cup(\frac23;\,+\infty). $$

Ответ

1) $$40$$; 2) $$\frac15$$; 3) $$33$$; 4) $$21$$; 5) $$192$$; 6) $$200$$; 7) $$\varnothing$$; 8) $$(-\infty;\,0{,}5)\cup(1;\,+\infty)$$; 9) $$(-\infty;\,-2)\cup(0;\,1)\cup(2;\,+\infty)$$; 10) $$(-\infty;\,-\frac23)\cup(0;\,0{,}5)\cup(\frac23;\,+\infty)$$.