Упр.680 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a^2-13;
2) 15-b^2;
3) x^2-80;
4) 18/41-x^2.
Решить методом интервалов неравенство:
1) (2x+1)(x+2)/(x-3)<0; 2) (x-3)(2x+4)/(x+1)?0.

1) Представим выражения в виде разности квадратов:

$$a^2-13=a^2-(\sqrt{13})^2=(a-\sqrt{13})(a+\sqrt{13})$$
$$15-b^2=(\sqrt{15})^2-b^2=(\sqrt{15}-b)(\sqrt{15}+b)$$
$$x^2-80=x^2-(4\sqrt{5})^2=(x-4\sqrt{5})(x+4\sqrt{5})$$
$$\frac{18}{41}-x^2=\left(\sqrt{\frac{18}{41}}-x\right)\left(\sqrt{\frac{18}{41}}+x\right)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}-x\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}+x\right)$$

2) Решим неравенства методом интервалов.

1)

$$\frac{(2x+1)(x+2)}{x-3}<0$$

Нули числителя и знаменателя:

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,\qquad x+2=0 \Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$

Рассматриваем промежутки, на которых дробь отрицательна:

$$(-\infty,-2)\cup\left(-\frac12,3\right)$$

2)

$$\frac{(x-3)(2x+4)}{x+1}\ge 0$$

Нули числителя и знаменателя:

$$x-3=0 \Rightarrow x=3,\qquad 2x+4=0 \Rightarrow x=-2,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

С учётом знаков на промежутках получаем:

$$[-2,-1)\cup[3,+\infty)$$

Ответ

1) $$a^2-13=(a-\sqrt{13})(a+\sqrt{13})$$
$$15-b^2=(\sqrt{15}-b)(\sqrt{15}+b)$$
$$x^2-80=(x-4\sqrt{5})(x+4\sqrt{5})$$
$$\frac{18}{41}-x^2=\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}-x\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}+x\right)$$

2) $$(-\infty,-2)\cup\left(-\frac12,3\right)$$
$$[-2,-1)\cup[3,+\infty)$$