Упр.68 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^2n-b^2n)/(a^2n+b^2n ) · (a^4n-b^4n)/(a^2n-2a^n b^n+b^2n ) = (a^n+b^n )^2;
2) (x^n+y^n )^2/(x^4n-y^4n ) : (x^2n-y^2n)/(x^2n+y^2n ) = 1/(x^n-y^n )^2 .
Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины, а ширина больше 4 м. Доказать, что площадь участка больше 80 м^2.

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}} = \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^{2n}-b^{2n})(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2} $$

Так как
$$ a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n), $$
то
$$ \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2} =(a^n+b^n)^2. $$

Следовательно, равенство верно.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}} = \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})(x^{2n}+y^{2n})}\cdot \frac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}} $$

$$ = \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2}. $$

Так как

$$ x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n), $$
то
$$ \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2} = \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^n-y^n)^2(x^n+y^n)^2} = \frac{1}{(x^n-y^n)^2}. $$

Следовательно, равенство верно.

3) Пусть ширина участка равна $$a$$ м, тогда длина равна $$5a$$ м. По условию $$a>4$$. Тогда

$$ S=5a^2. $$

Так как $$a>4$$, то

$$ 5a^2>5\cdot 4^2=80. $$

Значит, площадь участка больше $$80\text{ м}^2$$.