Упр.68 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что при всех допустимых значениях $$a$$, $$b$$, $$x$$ и $$y$$ (несколько? $$n$$ — натуральное число) верно равенство:
1) $$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot\frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}}=(a^n+b^n)^2$$;
2) $$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}}=\frac{1}{(x^n-y^n)^2}$$. - Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины, а ширина больше 4 м. Доказать, что площадь участка больше 80 м2.
1) Преобразуем левую часть:
$$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}} = \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^{2n}-b^{2n})(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2}$$
Так как
$$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n),$$
то
$$\frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2} =(a^n+b^n)^2.$$
Следовательно, равенство верно.
2) Преобразуем левую часть:
$$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}} = \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})(x^{2n}+y^{2n})}\cdot \frac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}}$$
$$= \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2}.$$
Так как
$$x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n),$$
то
$$\frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2} = \frac{(x^n+y^n)^2}{(x^n-y^n)^2(x^n+y^n)^2} = \frac{1}{(x^n-y^n)^2}.$$
Следовательно, равенство верно.
3) Пусть ширина участка равна $$a$$ м, тогда длина равна $$5a$$ м. По условию $$a>4$$. Тогда
$$S=5a^2.$$
Так как $$a>4$$, то
$$5a^2>5\cdot 4^2=80.$$
Значит, площадь участка больше $$80\text{ м}^2$$.
Ответ
1) $$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot\frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}}=(a^n+b^n)^2$$;
2) $$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}}=\frac{1}{(x^n-y^n)^2}$$;
3) $$S>80\text{ м}^2$$.
