Упр.679 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Вычислить:

   1) $$\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)$$;

   2) $$\left(3\sqrt{5}+1\right)\left(1-3\sqrt{5}\right)$$.

2. Решить методом интервалов неравенство:

   1) $$\frac{x-2}{x+5}>0$$;

   2) $$\frac{x-4}{x+3}<0$$;

   3) $$\frac{1{,}5-x}{3+x}\mathbin{?}0$$;

   4) $$\frac{3{,}5+x}{x-7}\mathbin{?}0$$.

1) Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)=(\sqrt{2})^2-2^2=2-4=-2.$$

2) Аналогично:

$$(3\sqrt{5}+1)(1-3\sqrt{5})=(1+3\sqrt{5})(1-3\sqrt{5})=1^2-(3\sqrt{5})^2=1-9\cdot 5=1-45=-44.$$

3) Решим неравенство

$$\frac{x-2}{x+5}>0.$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=-5$$. Знак дроби положителен, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x\in(-\infty;-5)\cup(2;+\infty).$$

4) Решим неравенство

$$\frac{x-4}{x+3}<0.$$

Критические точки: $$x=4$$ и $$x=-3$$. Знак дроби отрицателен между этими точками:

$$x\in(-3;4).$$

5) Решим неравенство

$$\frac{1{,}5-x}{3+x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=1{,}5$$ и $$x=-3$$. Подходит промежуток, где дробь неотрицательна:

$$x\in(-3;1{,}5].$$

6) Решим неравенство

$$\frac{3{,}5+x}{x-7}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-3{,}5$$ и $$x=7$$. Подходит промежуток, где дробь неположительна:

$$x\in[-3{,}5;7).$$

Ответ

1) $$-2$$; 2) $$-44$$; 3) $$(-\infty;-5)\cup(2;+\infty)$$; 4) $$(-3;4)$$; 5) $$(-3;1{,}5]$$; 6) $$[-3{,}5;7)$$.