Упр.678 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ верно равенство:
1) $$\sqrt{a+1}=2$$;
2) $$\sqrt{3-2a}=5$$;
3) $$2\sqrt{\frac{1}{6}a-2}=1$$;
4) $$\frac{1}{3}\sqrt{7a-4}=0$$? - Решить методом интервалов неравенство:
1) $$(x-5)^2(x^2-25)>0$$;
2) $$(x+7)^2(x^2-49)<0$$;
3) $$(x-3)(x^2-9)<0$$;
4) $$(x-4)(x^2-16)>0$$;
5) $$(x-8)(x-1)(x^2-1)?0$$;
6) $$(x-5)(x+2)(x^2-4)?0$$.
1) $$\sqrt{a+1}=2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$a+1=4$$
$$a=3$$
Проверка: $$\sqrt{3+1}=2$$ — верно.
2) $$\sqrt{3-2a}=5$$
$$3-2a=25$$
$$-2a=22$$
$$a=-11$$
Проверка: $$\sqrt{3-2(-11)}=\sqrt{25}=5$$.
3) $$2\sqrt{\frac16a-2}=1$$
$$\sqrt{\frac16a-2}=\frac12$$
$$\frac16a-2=\frac14$$
$$\frac16a=\frac94$$
$$a=\frac94\cdot 6=\frac{27}{2}$$
4) $$\frac13\sqrt{7a-4}=0$$
Так как корень неотрицателен, то
$$\sqrt{7a-4}=0$$
$$7a-4=0$$
$$a=\frac47$$
5) $$\left(x-5\right)^2\left(x^2-25\right)>0$$
Разложим на множители:
$$\left(x-5\right)^2\left(x-5\right)\left(x+5\right)>0$$
$$\left(x-5\right)^3\left(x+5\right)>0$$
Нули: $$x=-5,\; x=5$$. Проверяем знаки на промежутках:
$$(-\infty;-5)\cup(5;+\infty)$$
6) $$\left(x+7\right)^2\left(x^2-49\right)<0$$
$$\left(x+7\right)^2\left(x-7\right)\left(x+7\right)<0$$
$$\left(x+7\right)^3\left(x-7\right)<0$$
Нули: $$x=-7,\; x=7$$. Знак выражения отрицателен только между корнями:
$$(-7;7)$$
7) $$\left(x-3\right)\left(x^2-9\right)<0$$
$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)<0$$
$$\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)<0$$
Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0$$, то неравенство выполняется, когда
$$x+3<0$$
$$x<-3$$
8) $$\left(x-4\right)\left(x^2-16\right)>0$$
$$\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)>0$$
$$\left(x-4\right)^2\left(x+4\right)>0$$
Так как $$\left(x-4\right)^2\ge 0$$, то нужно
$$x+4>0,\quad x\ne 4$$
Отсюда:
$$(-4;4)\cup(4;+\infty)$$
9) $$\left(x-8\right)\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)\ge 0$$
$$\left(x-8\right)\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)\ge 0$$
Так как $$\left(x-1\right)^2\ge 0$$, остаётся рассмотреть знак $$\left(x-8\right)\left(x+1\right)$$:
$$\left(x-8\right)\left(x+1\right)\ge 0$$
Отсюда:
$$(-\infty;-1]\cup[8;+\infty)$$
10) $$\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^2-4\right)\le 0$$
$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le 0$$
$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)\le 0$$
Так как $$\left(x+2\right)^2\ge 0$$, получаем
$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\le 0$$
Следовательно,
$$[2;5]$$
и отдельно точка $$x=-2$$, где выражение равно нулю.
Итак,
$$[-2]\cup[2;5]$$
Ответ
1) $$a=3$$; 2) $$a=-11$$; 3) $$a=\frac{27}{2}$$; 4) $$a=\frac47$$; 5) $$(-\infty;-5)\cup(5;+\infty)$$; 6) $$(-7;7)$$; 7) $$(-\infty;-3)$$; 8) $$(-4;4)\cup(4;+\infty)$$; 9) $$(-\infty;-1]\cup[8;+\infty)$$; 10) $$[-2]\cup[2;5]$$.
