Упр.673 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 7,2 · 10^(-5) кг в граммах;
2) 3,4 · 10^(-10) км в сантиметрах.
Найти все значения r, для которых при всех действительных значениях x выполняется неравенство (r^2-1) x^2+2(r-1)x+2>0.

1) Переведём килограммы в граммы:

$$7{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{кг} = 7{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3\ \text{г} = 7{,}2 \cdot 10^{-2}\ \text{г}.$$

2) Переведём километры в сантиметры:

$$3{,}4 \cdot 10^{-10}\ \text{км} = 3{,}4 \cdot 10^{-10} \cdot 10^5\ \text{см} = 3{,}4 \cdot 10^{-5}\ \text{см}.$$

Рассмотрим неравенство

$$\left(r^2-1\right)x^2+2(r-1)x+2>0.$$

Чтобы оно выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Для этого при $$a>0$$ необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D<0.$$

Здесь

$$a=r^2-1,\quad b=2(r-1),\quad c=2.$$

Вычислим дискриминант:

$$ D=[2(r-1)]^2-4(r^2-1)\cdot 2 =4(r-1)^2-8(r^2-1) =-4r^2-8r+12. $$

Требуем:

$$-4r^2-8r+12<0.$$

Решим уравнение

$$-4r^2-8r+12=0.$$

Делим на $$-4$$:

$$r^2+2r-3=0.$$

Тогда

$$r_1=-3,\quad r_2=1.$$

Так как парабола $$-4r^2-8r+12$$ направлена вниз, то неравенство $$<0$$ выполняется вне корней:

$$r<-3 \quad \text{или} \quad r>1.$$

При этих значениях $$r$$ коэффициент при $$x^2$$ положителен, и неравенство выполняется для всех действительных $$x$$.

Ответ

$$7{,}2 \cdot 10^{-2}\ \text{г};\quad 3{,}4 \cdot 10^{-5}\ \text{см};\quad r\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$