Упр.672 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Результат вычислений записать в стандартном виде:
1) $$(2{,}8 \cdot 10^{-6}) \cdot (3{,}1 \cdot 10^{-4});$$
2) $$(1{,}7 \cdot 10^{-8}) \cdot (4{,}6 \cdot 10^5);$$
3) $$(6{,}5 \cdot 10^7) \cdot (4{,}6 \cdot 10^{-9});$$
4) $$(8{,}2 \cdot 10^3) \cdot (2{,}5 \cdot 10^{-6});$$
5) $$(7{,}2 \cdot 10^5) : (3 \cdot 10^{10});$$
6) $$(6 \cdot 10^{-4}) : (1{,}2 \cdot 10^8).$$ - Найти все значения $$r$$, для которых при всех действительных значениях $$x$$ выполняется неравенство $$x^2-(2+r)x+4>0$$.
$$\left(2{,}8\cdot 10^{-6}\right)\cdot \left(3{,}1\cdot 10^{-4}\right)= (2{,}8\cdot 3{,}1)\cdot 10^{-6-4}=8{,}68\cdot 10^{-10}.$$
$$\left(1{,}7\cdot 10^{-8}\right)\cdot \left(4{,}6\cdot 10^{5}\right)= (1{,}7\cdot 4{,}6)\cdot 10^{-8+5}=7{,}82\cdot 10^{-3}.$$
$$\left(6{,}5\cdot 10^{7}\right)\cdot \left(4{,}6\cdot 10^{-9}\right)= (6{,}5\cdot 4{,}6)\cdot 10^{7-9}=29{,}9\cdot 10^{-2}=2{,}99\cdot 10^{-1}.$$
$$\left(8{,}2\cdot 10^{3}\right)\cdot \left(2{,}5\cdot 10^{-6}\right)= (8{,}2\cdot 2{,}5)\cdot 10^{3-6}=20{,}5\cdot 10^{-3}=2{,}05\cdot 10^{-2}.$$
$$\left(7{,}2\cdot 10^{5}\right):\left(3\cdot 10^{10}\right)= \frac{7{,}2}{3}\cdot 10^{5-10}=2{,}4\cdot 10^{-5}.$$
$$\left(6\cdot 10^{-4}\right):\left(1{,}2\cdot 10^{8}\right)= \frac{6}{1{,}2}\cdot 10^{-4-8}=5\cdot 10^{-12}.$$
Рассмотрим неравенство $$x^2-(2+r)x+4>0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно, чтобы дискриминант был отрицательным:
$$D=(2+r)^2-4\cdot 4=r^2+4r-12.$$
Требуется:
$$r^2+4r-12<0.$$
Найдём корни уравнения:
$$r^2+4r-12=0,$$
$$r_1=-6,\quad r_2=2.$$
Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется между корнями:
$$-6<r<2.$$
Ответ
1) $$8{,}68\cdot 10^{-10}$$; 2) $$7{,}82\cdot 10^{-3}$$; 3) $$2{,}99\cdot 10^{-1}$$; 4) $$2{,}05\cdot 10^{-2}$$; 5) $$2{,}4\cdot 10^{-5}$$; 6) $$5\cdot 10^{-12}$$; $$-6<r<2$$.
