Упр.672 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (2,8 · 10^(-6)) · (3,1 · 10^(-4));
2) (1,7 · 10^(-8)) · (4,6 · 10^5);
3) (6,5 · 10^7) · (4,6 · 10^(-9));
4) (8,2 · 10^3) · (2,5 · 10^(-6));
5) (7,2 · 10^5) : (3 · 10^10);
6) (6 · 10^(-4)) : (1,2 · 10^8).
Найти все значения r, для которых при всех действительных значениях x выполняется неравенство x^2-(2+r)x+4>0.

1. $$\left(2{,}8\cdot 10^{-6}\right)\cdot \left(3{,}1\cdot 10^{-4}\right)= (2{,}8\cdot 3{,}1)\cdot 10^{-6-4}=8{,}68\cdot 10^{-10}.$$

2. $$\left(1{,}7\cdot 10^{-8}\right)\cdot \left(4{,}6\cdot 10^{5}\right)= (1{,}7\cdot 4{,}6)\cdot 10^{-8+5}=7{,}82\cdot 10^{-3}.$$

3. $$\left(6{,}5\cdot 10^{7}\right)\cdot \left(4{,}6\cdot 10^{-9}\right)= (6{,}5\cdot 4{,}6)\cdot 10^{7-9}=29{,}9\cdot 10^{-2}=2{,}99\cdot 10^{-1}.$$

4. $$\left(8{,}2\cdot 10^{3}\right)\cdot \left(2{,}5\cdot 10^{-6}\right)= (8{,}2\cdot 2{,}5)\cdot 10^{3-6}=20{,}5\cdot 10^{-3}=2{,}05\cdot 10^{-2}.$$

5. $$\left(7{,}2\cdot 10^{5}\right):\left(3\cdot 10^{10}\right)= \frac{7{,}2}{3}\cdot 10^{5-10}=2{,}4\cdot 10^{-5}.$$

6. $$\left(6\cdot 10^{-4}\right):\left(1{,}2\cdot 10^{8}\right)= \frac{6}{1{,}2}\cdot 10^{-4-8}=5\cdot 10^{-12}.$$

Рассмотрим неравенство $$x^2-(2+r)x+4>0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D=(2+r)^2-4\cdot 4=r^2+4r-12.$$

Требуется:
$$r^2+4r-12<0.$$

Найдём корни уравнения:
$$r^2+4r-12=0,$$
$$r_1=-6,\quad r_2=2.$$

Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется между корнями:
$$-6<r<2.$$

Ответ

1) $$8{,}68\cdot 10^{-10}$$; 2) $$7{,}82\cdot 10^{-3}$$; 3) $$2{,}99\cdot 10^{-1}$$; 4) $$2{,}05\cdot 10^{-2}$$; 5) $$2{,}4\cdot 10^{-5}$$; 6) $$5\cdot 10^{-12}$$; $$-6<r<2$$.