Упр.670 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Возвести в степень:
   1) $$\left(a^{-2}+\frac{1}{2}\right)^2$$;
   2) $$\left(b^{-1}-\frac{1}{4}\right)^3$$;
   3) $$\left(1-b^{-1}\right)^3$$;
   4) $$\left(a^{-2}+\frac{1}{3}\right)^2$$.
2. Найти все значения $$x$$, при которых функция принимает значения, не большие нуля:
   1) $$y=-x^2+6x-9$$;
   2) $$y=x^2-2x+1$$;
   3) $$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2}$$;
   4) $$y=-\frac{1}{3}x^2-4x-12$$.

1. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

   $$\left(a^{-2}+\frac12\right)^2=a^{-4}+2\cdot a^{-2}\cdot \frac12+\frac14=a^{-4}+a^{-2}+\frac14.$$

2. Используем формулу куба разности:

   $$\left(b^{-1}-\frac14\right)^3=b^{-3}-3\cdot b^{-2}\cdot \frac14+3\cdot b^{-1}\cdot \frac1{16}-\frac1{64}.$$

   После упрощения получаем:

   $$\left(b^{-1}-\frac14\right)^3=b^{-3}-\frac34b^{-2}+\frac3{16}b^{-1}-\frac1{64}.$$

3. Раскроем куб разности:

   $$\left(1-b^{-1}\right)^3=1-3b^{-1}+3b^{-2}-b^{-3}.$$

4. Снова применим формулу квадрата суммы:

   $$\left(a^{-2}+\frac13\right)^2=a^{-4}+2\cdot a^{-2}\cdot \frac13+\frac19=a^{-4}+\frac23a^{-2}+\frac19.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает значения, не большие нуля.

1. $$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2.$$

   Так как квадрат неотрицателен, то $$-(x-3)^2\le 0$$ при любом $$x$$.

2. $$y=x^2-2x+1=(x-1)^2.$$

   Неравенство $$(x-1)^2\le 0$$ выполняется только при $$x=1.$$

3. $$y=-\frac12x^2-3x-\frac92=-\frac12(x^2+6x+9)=-\frac12(x+3)^2.$$

   Следовательно, $$-\frac12(x+3)^2\le 0$$ при любом $$x$$.

4. $$y=-\frac13x^2-4x-12=-\frac13(x^2+12x+36)=-\frac13(x+6)^2.$$

   Значит, $$-\frac13(x+6)^2\le 0$$ при любом $$x$$.

Ответ

1) $$a^{-4}+a^{-2}+\frac14$$; 2) $$b^{-3}-\frac34b^{-2}+\frac3{16}b^{-1}-\frac1{64}$$; 3) $$1-3b^{-1}+3b^{-2}-b^{-3}$$; 4) $$a^{-4}+\frac23a^{-2}+\frac19$$.

Для функции: 1) $$x\in \mathbb{R}$$; 2) $$x=1$$; 3) $$x\in \mathbb{R}$$; 4) $$x\in \mathbb{R}$$.