Упр.67 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^2-2ab+b^2)/(a^2-ab+b^2 ) : (8a-8b)/(a^3+b^3 );
2) (a^2+2ab+b^2)/(a^2+ab+b^2 ) · (a^3-b^3)/(7a+7b);
3) (n^3-m^3)/(n^2-m^2 ) : (n^2+nm+m^2)/(n^2+2mn+m^2 );
4) (m^2+2mn+n^2)/(p^3+c^3 ) · (p+c)/(2m+2n);
5) (a^2-ab+b^2)/(b^2-a^2 ) : (a^3+b^3)/(a+b) : (a+b)/(a-b);
6) (x^3-27)/(9+6x+x^2 ) : (3-x)/(3+x) : (2x^2+6x+18)/(x+3).
Сторона прямоугольника больше 7 см, другая в 3 раза больше ее. Доказать, что периметр прямоугольника больше 56 см.

1. $$\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-ab+b^2}:\frac{8a-8b}{a^3+b^3}$$
   
   Разложим на множители:
   $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,$$
   $$8a-8b=8(a-b),$$
   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
   Тогда
   $$\frac{(a-b)^2}{a^2-ab+b^2}\cdot\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{8(a-b)}=\frac{(a-b)(a+b)}{8}=\frac{a^2-b^2}{8}.$$
2. $$\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{a^3-b^3}{7a+7b}$$
   
   Разложим:
   $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,$$
   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$
   $$7a+7b=7(a+b).$$
   Тогда
   $$\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{7(a+b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{7}=\frac{a^2-b^2}{7}.$$
3. $$\frac{n^3-m^3}{n^2-m^2}:\frac{n^2+nm+m^2}{n^2+2mn+m^2}$$
   
   Разложим:
   $$n^3-m^3=(n-m)(n^2+nm+m^2),$$
   $$n^2-m^2=(n-m)(n+m),$$
   $$n^2+2mn+m^2=(n+m)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{(n-m)(n^2+nm+m^2)}{(n-m)(n+m)}\cdot\frac{(n+m)^2}{n^2+nm+m^2}=n+m.$$
4. $$\frac{m^2+2mn+n^2}{p^3+c^3}\cdot\frac{p+c}{2m+2n}$$
   
   Разложим:
   $$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2,$$
   $$p^3+c^3=(p+c)(p^2-pc+c^2),$$
   $$2m+2n=2(m+n).$$
   Тогда
   $$\frac{(m+n)^2}{(p+c)(p^2-pc+c^2)}\cdot\frac{p+c}{2(m+n)}=\frac{m+n}{2(p^2-pc+c^2)}.$$
5. $$\frac{a^2-ab+b^2}{b^2-a^2}:\frac{a^3+b^3}{a+b}:\frac{a+b}{a-b}$$
   
   Преобразуем деление в умножение:
   $$\frac{a^2-ab+b^2}{b^2-a^2}\cdot\frac{a+b}{a^3+b^3}\cdot\frac{a-b}{a+b}.$$
   Так как
   $$b^2-a^2=-(a-b)(a+b), \qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$
   получаем
   $$\frac{a^2-ab+b^2}{-(a-b)(a+b)}\cdot\frac{a+b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}\cdot\frac{a-b}{a+b}=-\frac{1}{(a+b)^2}.$$
6. $$\frac{x^3-27}{9+6x+x^2}:\frac{3-x}{3+x}:\frac{2x^2+6x+18}{x+3}$$
   
   Разложим:
   $$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9),$$
   $$9+6x+x^2=(x+3)^2,$$
   $$2x^2+6x+18=2(x^2+3x+9).$$
   Тогда
   $$\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)^2}\cdot\frac{3+x}{3-x}\cdot\frac{x+3}{2(x^2+3x+9)}.$$
   Сокращаем:
   $$\frac{x-3}{3-x}=-1,$$
   поэтому
   $$-\frac{1}{2}.$$

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$3a$$, причём $$a>7$$. Тогда периметр

$$P=2(a+3a)=8a.$$

Так как $$a>7$$, то

$$8a>8\cdot 7=56.$$

Значит, периметр прямоугольника больше $$56$$ см.

Ответ

1) $$\frac{a^2-b^2}{8}$$; 2) $$\frac{a^2-b^2}{7}$$; 3) $$n+m$$; 4) $$\frac{m+n}{2(p^2-pc+c^2)}$$; 5) $$-\frac{1}{(a+b)^2}$$; 6) $$-\frac{1}{2}$$; периметр больше $$56$$ см.