Упр.66 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Решить уравнение относительно $$x$$, если $$a\ne0$$, $$b\ne0$$, $$a\ne b$$, $$a\ne-b$$:
1) $$\frac{a+b}{x}=\frac{a^2-b^2}{a}$$;
2) $$\frac{x}{a^2-b^2}=\frac{ab}{a^2-ab}$$;
3) $$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}=\frac{a^2-b^2}{x}$$;
4) $$\frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3}=\frac{x}{a^2+2ab+b^2}$$.
Пусть $$a>2$$, $$b>3$$, $$c>1$$. Доказать, что:
1) $$a+b+c>6$$;
2) $$abc>6$$;
3) $$2ab+3abc>30$$;
4) $$abc+2ac>10$$;
5) $$a+ab+abc^2>13$$;
6) $$a^2+b^2+c^2>13$$.
$$\frac{a+b}{x}=\frac{a^2-b^2}{a}$$
$$a(a+b)=x(a^2-b^2)$$
$$x=\frac{a(a+b)}{a^2-b^2}$$
$$x=\frac{a(a+b)}{(a+b)(a-b)}$$
$$x=\frac{a}{a-b}.$$$$\frac{x}{a^2-b^2}=\frac{ab}{a^2-ab}$$
$$x=\frac{ab(a^2-b^2)}{a^2-ab}$$
$$x=\frac{ab(a-b)(a+b)}{a(a-b)}$$
$$x=b(a+b).$$$$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}=\frac{a^2-b^2}{x}$$
$$x=\frac{b(a^2-b^2)}{a^2-2ab+b^2}$$
$$x=\frac{b(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}$$
$$x=\frac{b(a+b)}{a-b}.$$$$\frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3}=\frac{x}{a^2+2ab+b^2}$$
$$x=\frac{(ab^2-b^3)(a^2+2ab+b^2)}{a^3b-ab^3}$$
$$x=\frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a^2-b^2)}$$
$$x=\frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)}$$
$$x=\frac{b(a+b)}{a}.$$
Пусть $$a>2,\ b>3,\ c>1.$$ Тогда:
$$a+b+c>2+3+1=6.$$
$$abc>2\cdot 3\cdot 1=6.$$
$$ab>2\cdot 3=6,$$
значит
$$2ab>12,$$
а также
$$3abc>3\cdot 2\cdot 3\cdot 1=18.$$
Следовательно,
$$2ab+3abc>12+18=30.$$$$ac>2\cdot 1=2,$$
значит
$$2ac>4,$$
а также
$$abc>2\cdot 3\cdot 1=6.$$
Тогда
$$abc+2ac>6+4=10.$$$$c^2>1,\quad ab>2\cdot 3=6,$$
поэтому
$$abc^2>6.$$
Тогда
$$a+ab+abc^2>2+6+6=14>13.$$$$a^2>4,\quad b^2>9,\quad c^2>1.$$
Следовательно,
$$a^2+b^2+c^2>4+9+1=14>13.$$
Ответ
1) $$x=\frac{a}{a-b}$$; 2) $$x=b(a+b)$$; 3) $$x=\frac{b(a+b)}{a-b}$$; 4) $$x=\frac{b(a+b)}{a}$$; 5) верно; 6) верно; 7) верно; 8) верно; 9) верно; 10) верно.
