Упр.66 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a+b)/x = (a^2-b^2)/a;
2) x/(a^2-b^2 ) = ab/(a^2-ab);
3) (a^2-2ab+b^2)/b = (a^2-b^2)/x;
4) (ab^2-b^3)/(a^3 b-ab^3 ) = x/(a^2+2ab+b^2 ).
Пусть a>2, b>3, c>1. Доказать, что:
1) a+b+c>6;
2) abc>6;
3) 2ab+3abc>30;
4) abc+2ac>10;
5) a+ab+abc^2>13;
6) a^2+b^2+c^2>13.

1. $$\frac{a+b}{x}=\frac{a^2-b^2}{a}$$
   $$a(a+b)=x(a^2-b^2)$$
   $$x=\frac{a(a+b)}{a^2-b^2}$$
   $$x=\frac{a(a+b)}{(a+b)(a-b)}$$
   $$x=\frac{a}{a-b}.$$

2. $$\frac{x}{a^2-b^2}=\frac{ab}{a^2-ab}$$
   $$x=\frac{ab(a^2-b^2)}{a^2-ab}$$
   $$x=\frac{ab(a-b)(a+b)}{a(a-b)}$$
   $$x=b(a+b).$$

3. $$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}=\frac{a^2-b^2}{x}$$
   $$x=\frac{b(a^2-b^2)}{a^2-2ab+b^2}$$
   $$x=\frac{b(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}$$
   $$x=\frac{b(a+b)}{a-b}.$$

4. $$\frac{ab^2-b^3}{a^3b-ab^3}=\frac{x}{a^2+2ab+b^2}$$
   $$x=\frac{(ab^2-b^3)(a^2+2ab+b^2)}{a^3b-ab^3}$$
   $$x=\frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a^2-b^2)}$$
   $$x=\frac{b^2(a-b)(a+b)^2}{ab(a-b)(a+b)}$$
   $$x=\frac{b(a+b)}{a}.$$

Пусть $$a>2,\ b>3,\ c>1.$$ Тогда:

1. $$a+b+c>2+3+1=6.$$

2. $$abc>2\cdot 3\cdot 1=6.$$

3. $$ab>2\cdot 3=6,$$
   значит
   $$2ab>12,$$
   а также
   $$3abc>3\cdot 2\cdot 3\cdot 1=18.$$
   Следовательно,
   $$2ab+3abc>12+18=30.$$

4. $$ac>2\cdot 1=2,$$
   значит
   $$2ac>4,$$
   а также
   $$abc>2\cdot 3\cdot 1=6.$$
   Тогда
   $$abc+2ac>6+4=10.$$

5. $$c^2>1,\quad ab>2\cdot 3=6,$$
   поэтому
   $$abc^2>6.$$
   Тогда
   $$a+ab+abc^2>2+6+6=14>13.$$

6. $$a^2>4,\quad b^2>9,\quad c^2>1.$$
   Следовательно,
   $$a^2+b^2+c^2>4+9+1=14>13.$$

Ответ

1) $$x=\frac{a}{a-b}$$; 2) $$x=b(a+b)$$; 3) $$x=\frac{b(a+b)}{a-b}$$; 4) $$x=\frac{b(a+b)}{a}$$; 5) верно; 6) верно; 7) верно; 8) верно; 9) верно; 10) верно.