Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x/(y-x)-x/(y+x))•(x+y)^2/(2x^2 );
2) (1/(a-1)-1-1/(a+1))•(a^2-1);
3) (a/b-b/a)•ab/(a-b);
4) (a+b)(1/a-1/b) :(a^2-b^2)/(a^2 b^2 ).
Решить неравенство:
1) 2•(x-1/3)^2>0;
2) 7•(1/6-x)^2?0;
3) 3x^2-35.

Подробный ответ

$$\left(\frac{x}{y-x}-\frac{x}{y+x}\right)\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$
$$\frac{x(y+x)-x(y-x)}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$
$$\frac{xy+x^2-xy+x^2}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$
$$\frac{2x^2}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}=\frac{x+y}{y-x}$$
$$\left(\frac{1}{a-1}-1-\frac{1}{a+1}\right)\cdot (a^2-1)$$
$$\frac{a+1-(a-1)(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)}\cdot (a^2-1)$$
$$\frac{a+1-a^2+1-a+1}{a^2-1}\cdot (a^2-1)=3-a^2$$
$$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot \frac{ab}{a-b}$$
$$\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}$$
$$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}=a+b$$
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$$
$$(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}:\frac{(a-b)(a+b)}{a^2b^2}$$
$$(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}\cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$= (a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}=-ab$$

Ход решения

$$2\left(x-\frac13\right)^2>0$$
Так как квадрат неотрицателен, а число $$2>0$$, неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме случая, когда квадрат равен нулю:
$$x-\frac13\ne 0,\quad x\ne \frac13$$
$$7\left(\frac16-x\right)^2\le 0$$
Левая часть неотрицательна, значит она не превосходит нуля только тогда, когда равна нулю:
$$\frac16-x=0,\quad x=\frac16$$
$$3x^2-3<x^2-x$$
$$2x^2+x-3<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$2x^2+x-3=0$$
$$D=1+24=25,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}$$
$$x_1=-\frac32,\quad x_2=1$$
Тогда
$$2\left(x+\frac32\right)(x-1)<0$$
Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется между корнями:
$$-\frac32<x<1$$
$$(x-1)(x+3)>5$$
$$x^2+2x-3>5$$
$$x^2+2x-8>0$$
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$$
Тогда
$$ (x+4)(x-2)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2$$