Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. $$\left(\frac{x}{y-x}-\frac{x}{y+x}\right)\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$

   $$\frac{x(y+x)-x(y-x)}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$

   $$\frac{xy+x^2-xy+x^2}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$$

   $$\frac{2x^2}{(y-x)(y+x)}\cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}=\frac{x+y}{y-x}$$

2. $$\left(\frac{1}{a-1}-1-\frac{1}{a+1}\right)\cdot (a^2-1)$$

   $$\frac{a+1-(a-1)(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)}\cdot (a^2-1)$$

   $$\frac{a+1-a^2+1-a+1}{a^2-1}\cdot (a^2-1)=3-a^2$$

3. $$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot \frac{ab}{a-b}$$

   $$\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}$$

   $$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}=a+b$$

4. $$(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$$

   $$(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}:\frac{(a-b)(a+b)}{a^2b^2}$$

   $$(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}\cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}$$

   $$= (a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}\cdot \frac{ab}{a-b}=-ab$$

1. $$2\left(x-\frac13\right)^2>0$$

   Так как квадрат неотрицателен, а число $$2>0$$, неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме случая, когда квадрат равен нулю:

   $$x-\frac13\ne 0,\quad x\ne \frac13$$

2. $$7\left(\frac16-x\right)^2\le 0$$

   Левая часть неотрицательна, значит она не превосходит нуля только тогда, когда равна нулю:

   $$\frac16-x=0,\quad x=\frac16$$

3. $$3x^2-3<x^2-x$$

   $$2x^2+x-3<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$2x^2+x-3=0$$

   $$D=1+24=25,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}$$

   $$x_1=-\frac32,\quad x_2=1$$

   Тогда
   $$2\left(x+\frac32\right)(x-1)<0$$

   Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется между корнями:

   $$-\frac32<x<1$$

4. $$(x-1)(x+3)>5$$

   $$x^2+2x-3>5$$

   $$x^2+2x-8>0$$

   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$$

   Тогда
   $$(x+4)(x-2)>0$$

   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2$$

Ответ

1) $$\frac{x+y}{y-x}$$; 2) $$3-a^2$$; 3) $$a+b$$; 4) $$-ab$$.

1) $$x\ne \frac13$$; 2) $$x=\frac16$$; 3) $$-\frac32<x<1$$; 4) $$x<-4,\ x>2$$.