Упр.654 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Выполнить действия:

1. $$\left(\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}-\frac{4y^2}{x^2-y^2}\right)\cdot\frac{x+y}{2y}$$
2. $$\left(\frac{1-b}{1+b}-\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+4b}{1-b^2}\right)\cdot\left(b^2+2b+1\right)$$

Решить неравенство:

1. $$x^2-3x+2<0$$
2. $$x^2+x-2<0$$
3. $$x^2-2x-3>0$$
4. $$x^2+2x-3>0$$
5. $$2x^2+3x-2>0$$
6. $$3x^2+2x-1>0$$

1. $$\left(\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}-\frac{4y^2}{x^2-y^2}\right)\cdot \frac{x+y}{2y}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

   $$\frac{(x+y)^2-(x-y)^2-4y^2}{(x-y)(x+y)}\cdot \frac{x+y}{2y}$$

   $$\frac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2-4y^2}{(x-y)(x+y)}\cdot \frac{x+y}{2y}$$

   $$\frac{4xy-4y^2}{(x-y)(x+y)}\cdot \frac{x+y}{2y}=\frac{4y(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)\cdot 2y}=2$$

2. $$\left(\frac{1-b}{1+b}-\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+4b}{1-b^2}\right)\cdot (b^2+2b+1)$$

   Так как $$b^2+2b+1=(b+1)^2,\quad 1-b^2=(1-b)(1+b),$$ получаем:

   $$\frac{(1-b)^2-(1+b)^2+(1+4b)}{(1-b)(1+b)}\cdot (b+1)^2$$

   $$\frac{1-2b+b^2-1-2b-b^2+1+4b}{(1-b)(1+b)}\cdot (b+1)^2$$

   $$\frac{(1+b)^2}{(1-b)(1+b)}=\frac{1+b}{1-b}$$

3. $$x^2-3x+2<0$$

   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

   $$1<x<2$$

4. $$x^2+x-2<0$$

   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

   $$-2<x<1$$

5. $$x^2-2x-3>0$$

   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>3$$

6. $$x^2+2x-3>0$$

   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$

   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1$$

7. $$2x^2+3x-2>0$$

   $$2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$$

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$

8. $$3x^2+2x-1>0$$

   $$3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$$

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac13$$

Ответ

1) $$2$$;
2) $$\frac{1+b}{1-b}$$;
3) $$1<x<2$$;
4) $$-2<x<1$$;
5) $$x<-1 \text{ или } x>3$$;
6) $$x<-3 \text{ или } x>1$$;
7) $$x<-2 \text{ или } x>\frac12$$;
8) $$x<-1 \text{ или } x>\frac13$$.