Упр.653 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a/(a + 1) + 1) : (1 — a/(a + 1));
2) (a/(a + 1) + 1) : (1 — 2a^2/(1 — 2a^2));
3) (1 — a^2/(1 + b) · (1 — b^2)/(a + a^2)) · (1 + a/(1 — a));
4) (a + (b — a)/(1 + ab)) : (1 — a(b — a)/(1 + ab)).
Решить неравенство:
1) x^2-4<0; 2) x^2-9>0;
3) x^2+3x<0; 4) x^2-2x>0.

1. $$\left(\frac{a}{a+1}+1\right):\left(1-\frac{a}{a+1}\right)=\frac{a+a+1}{a+1}:\frac{a+1-a}{a+1}$$

   $$=\frac{2a+1}{a+1}:\frac{1}{a+1}=\frac{2a+1}{a+1}\cdot(a+1)=2a+1.$$

2. $$\left(\frac{a}{a+1}+1\right):\left(1-\frac{2a^2}{1-2a^2}\right)=\frac{2a+1}{a+1}:\frac{1-4a^2}{1-2a^2}$$

   $$=\frac{2a+1}{a+1}\cdot\frac{1-2a^2}{(1-2a)(1+2a)}=\frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)}.$$

3. $$\left(1-\frac{a^2}{1+b}\cdot\frac{1-b^2}{a+a^2}\right)\cdot\left(1+\frac{a}{1-a}\right)$$

   $$=\left(1-\frac{a^2(1-b)(1+b)}{(1+b)a(1+a)}\right)\cdot\frac{1}{1-a}$$

   $$=\left(1-\frac{a(1-b)}{1+a}\right)\cdot\frac{1}{1-a} =\frac{(1+a)-a(1-b)}{1+a}\cdot\frac{1}{1-a}$$

   $$=\frac{1+ab}{1+a}\cdot\frac{1}{1-a}=\frac{1-b}{a}.$$

4. $$\left(a+\frac{b-a}{1+ab}\right):\left(1-\frac{a(b-a)}{1+ab}\right)$$

   $$=\frac{a(1+ab)+b-a}{1+ab}:\frac{(1+ab)-a(b-a)}{1+ab}$$

   $$=\frac{a+a^2b+b-a}{1+ab}:\frac{1+ab-ab+a^2}{1+ab}$$

   $$=\frac{a^2b+b}{1+ab}:\frac{1+a^2}{1+ab} =\frac{b(a^2+1)}{1+ab}\cdot\frac{1+ab}{1+a^2}=b.$$

Решим неравенства.

1. $$x^2-4<0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)<0.$$

   Произведение отрицательно между корнями:
   $$-2<x<2.$$

2. $$x^2-9>0$$

   $$\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0.$$

   Произведение положительно вне корней:
   $$x>3 \text{ или } x<-3.$$

3. $$x^2+3x<0$$

   $$x(x+3)<0.$$

   Произведение отрицательно между корнями:
   $$-3<x<0.$$

4. $$x^2-2x>0$$

   $$x(x-2)>0.$$

   Произведение положительно вне корней:
   $$x<0 \text{ или } x>2.$$

Ответ

1) $$2a+1$$; 2) $$\frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)}$$; 3) $$\frac{1-b}{a}$$; 4) $$b$$.

1) $$-2<x<2$$; 2) $$x<-3 \text{ или } x>3$$; 3) $$-3<x<0$$; 4) $$x<0 \text{ или } x>2$$.