Упр.650 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a/(a^2 — 1) — 1/(1 — a^2);
2) 3y/(4x^2 — 9y^2) + 2x/(9y^2 — 4x^2);
3) 1 + 3a + 9a^2/(1 + 3a) + 1/(3a — 1) + 6a/(1 — 9a^2);
4) m^2/(m^3 — n^3) — mn/(n^3 — m^3) + n^2/(m^3 — n^3).
Свести к квадратным следующие неравенства:
1) x^2<3x+4; 2) 3x^2-1>x;
3) 3x^2

1. $$\frac{a}{a^2-1}-\frac{1}{1-a^2}=\frac{a}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a+1}{a^2-1}$$
   $$\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1}$$

2. $$\frac{3y}{4x^2-9y^2}+\frac{2x}{9y^2-4x^2}=\frac{3y}{4x^2-9y^2}-\frac{2x}{4x^2-9y^2}$$
   $$\frac{3y-2x}{4x^2-9y^2}=-\frac{2x-3y}{(2x-3y)(2x+3y)}=-\frac{1}{2x+3y}$$

3. $$1+3a+\frac{9a^2}{1+3a}+\frac{1}{3a-1}+\frac{6a}{1-9a^2}$$
   $$=1+3a+\frac{9a^2}{1+3a}-\frac{1}{1-3a}+\frac{6a}{(1-3a)(1+3a)}$$
   $$=\frac{(1+3a)(1-9a^2)+9a^2(1-3a)-(1+3a)+6a}{(1-3a)(1+3a)}$$
   $$=\frac{1-9a^2+3a-27a^3+9a^2-27a^3-1-3a+6a}{(1-3a)(1+3a)}$$
   $$=\frac{6a-54a^3}{(1-3a)(1+3a)}=\frac{6a(1-9a^2)}{1-9a^2}=6a$$

4. $$\frac{m^2}{m^3-n^3}-\frac{mn}{n^3-m^3}+\frac{n^2}{m^3-n^3}$$
   $$=\frac{m^2}{m^3-n^3}+\frac{mn}{m^3-n^3}+\frac{n^2}{m^3-n^3}$$
   $$=\frac{m^2+mn+n^2}{m^3-n^3}$$
   $$=\frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)(m^2+mn+n^2)}=\frac{1}{m-n}$$

Ход решения

1. $$x^2<3x+4$$
   $$x^2-3x-4<0$$
   $$\left(x-4\right)\left(x+1\right)<0$$
   $$-1<x<4$$

2. $$3x^2-1>x$$
   $$3x^2-x-1>0$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}$$
   $$x<\frac{1-\sqrt{13}}{6}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{13}}{6}$$

3. $$3x^2<x^2-5x+6$$
   $$2x^2+5x-6<0$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{73}}{4}$$
   $$\frac{-5-\sqrt{73}}{4}<x<\frac{-5+\sqrt{73}}{4}$$

4. $$2x(x+1)<x+5$$
   $$2x^2+x-5<0$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{41}}{4}$$
   $$\frac{-1-\sqrt{41}}{4}<x<\frac{-1+\sqrt{41}}{4}$$

Ответ

1) $$\frac{1}{a-1}$$; 2) $$-\frac{1}{2x+3y}$$; 3) $$6a$$; 4) $$\frac{1}{m-n}$$.
1) $$-1<x<4$$; 2) $$x<\frac{1-\sqrt{13}}{6}$$ или $$x>\frac{1+\sqrt{13}}{6}$$; 3) $$\frac{-5-\sqrt{73}}{4}<x<\frac{-5+\sqrt{73}}{4}$$; 4) $$\frac{-1-\sqrt{41}}{4}<x<\frac{-1+\sqrt{41}}{4}$$.