Упр.648 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) (a — b)/ab — (a — c)/ac;
2) 1/a^2 + 1/ab + 1/a^2b;
3) 1/14x^3 — 1/(21x^2 y) — 1/4xy^2;
4) 2/3x^2 + 3/5xy^2 — 4/4y^3.
Пусть прямая проходит через точку (x_0;y_0 ) параболы y=ax^2 и точку (x_0/2;0). Доказать, что эта прямая имеет только одну общую точку с параболой y=ax^2.
$$\frac{a-b}{ab}-\frac{a-c}{ac}=\frac{c(a-b)-b(a-c)}{abc}=\frac{ac-bc-ab+bc}{abc}=\frac{ac-ab}{abc}=\frac{a(c-b)}{abc}=\frac{c-b}{bc}.$$
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2b}=\frac{b+a+1}{a^2b}.$$
$$\frac{1}{14x^3}-\frac{1}{21x^2y}-\frac{1}{4xy^2}=\frac{6y^2-4xy-21x^2}{84x^3y^2}.$$
$$\frac{2}{3x^2}+\frac{3}{5xy^2}-\frac{4}{4y^3}=\frac{2\cdot 20y^3+3\cdot 12xy-5\cdot 15x^2}{60x^2y^3}=\frac{40y^3+36xy-75x^2}{60x^2y^3}.$$
Пусть прямая проходит через точки $$\left(x_0;y_0\right)$$ и $$\left(\frac{x_0}{2};0\right)$$. Тогда её уравнение имеет вид $$y=kx+b$$.
Подставим координаты точек:
$$\begin{cases} y_0=kx_0+b,\\ 0=k\frac{x_0}{2}+b. \end{cases}$$
Из системы получаем:
$$k=\frac{2y_0}{x_0}, \qquad b=-y_0.$$
Значит, уравнение прямой:
$$y=\frac{2y_0}{x_0}x-y_0.$$Так как точка $$\left(x_0;y_0\right)$$ лежит на параболе $$y=ax^2$$, то
$$y_0=ax_0^2,$$
откуда
$$a=\frac{y_0}{x_0^2}.$$
Следовательно, уравнение параболы:
$$y=\frac{y_0}{x_0^2}x^2.$$Найдём точки пересечения прямой и параболы:
$$\frac{y_0}{x_0^2}x^2=\frac{2y_0}{x_0}x-y_0.$$
Умножим на $$x_0^2$$:
$$y_0x^2-2y_0x_0x+y_0x_0^2=0.$$
Вынесем $$y_0$$:
$$y_0\left(x^2-2x_0x+x_0^2\right)=0.$$
Так как
$$x^2-2x_0x+x_0^2=(x-x_0)^2,$$
то
$$y_0(x-x_0)^2=0.$$
Значит, при $$y_0\neq 0$$ получаем единственное решение $$x=x_0$$, то есть прямая имеет только одну общую точку с параболой.
Ответ
1) $$\frac{c-b}{bc}$$; 2) $$\frac{a+b+1}{a^2b}$$; 3) $$\frac{6y^2-4xy-21x^2}{84x^3y^2}$$; 4) $$\frac{40y^3+36xy-75x^2}{60x^2y^3}$$; прямая имеет только одну общую точку с параболой.
