Упр.647 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Сократить дробь: 1) $$\frac{a^2-16}{a^2-8a+16}$$; 2) $$\frac{4-a^2}{a+2}$$; 3) $$\frac{4x^2-9}{2x^2+3x}$$; 4) $$\frac{3b^2-12b+12}{b^2-4}$$.
2. Найти значение $$k$$, при котором прямая $$y=kx$$ и парабола $$y=x^2+4x+1$$ имеют только одну общую точку.

1. $$\frac{a^2-16}{a^2-8a+16}=\frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)^2}=\frac{a+4}{a-4}.$$

2. $$\frac{4-a^2}{a+2}=\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}=2-a.$$

3. $$\frac{4x^2-9}{2x^2+3x}=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x(2x+3)}=\frac{2x-3}{x}.$$

4. $$\frac{3b^2-12b+12}{b^2-4}=\frac{3(b^2-4b+4)}{(b-2)(b+2)}=\frac{3(b-2)^2}{(b-2)(b+2)}=\frac{3(b-2)}{b+2}.$$

Прямая $$y=kx$$ и парабола $$y=x^2+4x+1$$ имеют одну общую точку, если уравнение их пересечения имеет единственный корень:

$$kx=x^2+4x+1,$$
$$x^2+(4-k)x+1=0.$$

Для одной общей точки дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(4-k)^2-4=0,$$
$$k^2-8k+12=0.$$

$$D_1=64-48=16,$$
$$k_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$

$$k_1=2,\quad k_2=6.$$

Ответ

$$\frac{a+4}{a-4};\quad 2-a;\quad \frac{2x-3}{x};\quad \frac{3(b-2)}{b+2};\quad k=2 \text{ или } k=6.$$