Упр.646 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x-9)(2-x)=0;
2) (x+4)(3-x)=0;
3) 2x^2-x=0;
4) 3x^2+5x=0;
5) 1-4x^2=0;
6) 9x^2-4=0;
7) (5x^2-x)/x=0;
8) (3x^2+x)/x=0.
Построить параболу y=ax^2+bx+c, если известно, что:
1) парабола проходит через точки с координатами (0;0), (2;0), (3;3);
2) точка (1;3) является вершиной параболы, а точка (-1;7) принадлежит параболе;
3) нулями функции y=ax^2 + bx+c являются числа x_1 = 1 и x_2 =3, а наибольшее значение равно 2.

1. $$ (x-9)(2-x)=0 $$
   
   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
   $$ x-9=0 \quad \text{или} \quad 2-x=0 $$
   $$ x=9 \quad \text{или} \quad x=2 $$
2. $$ (x+4)(3-x)=0 $$
   $$ x+4=0 \quad \text{или} \quad 3-x=0 $$
   $$ x=-4 \quad \text{или} \quad x=3 $$
3. $$ 2x^2-x=0 $$
   $$ x(2x-1)=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad 2x-1=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12 $$
4. $$ 3x^2+5x=0 $$
   $$ x(3x+5)=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad 3x+5=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac53 $$
5. $$ 1-4x^2=0 $$
   $$ 4x^2=1 $$
   $$ x^2=\frac14 $$
   $$ x=\pm\frac12 $$
6. $$ 9x^2-4=0 $$
   $$ 9x^2=4 $$
   $$ x^2=\frac49 $$
   $$ x=\pm\frac23 $$
7. $$ \frac{5x^2-x}{x}=0, \quad x\ne 0 $$
   Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
   $$ 5x^2-x=0 $$
   $$ x(5x-1)=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad 5x-1=0 $$
   Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
   $$ x=\frac15 $$
8. $$ \frac{3x^2+x}{x}=0, \quad x\ne 0 $$
   $$ 3x^2+x=0 $$
   $$ x(3x+1)=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad 3x+1=0 $$
   Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
   $$ x=-\frac13 $$

1) Так как парабола проходит через точку $$ (0;0) $$, то

$$ c=0. $$

Значит, $$ y=ax^2+bx. $$

Подставим точки $$ (2;0) $$ и $$ (3;3) $$:

$$ \begin{cases} 4a+2b=0, \\ 9a+3b=3. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$ 2a+b=0 $$, то есть $$ b=-2a $$. Подставим во второе:

$$ 9a+3(-2a)=3 $$

$$ 3a=3 $$

$$ a=1, \quad b=-2. $$

Следовательно,

$$ y=x^2-2x. $$

2) Вершина параболы $$ (1;3) $$, значит абсцисса вершины равна

$$ -\frac{b}{2a}=1, \quad \text{то есть} \quad b=-2a. $$

Точка $$ (-1;7) $$ принадлежит параболе, поэтому

$$ a(-1)^2+b(-1)+c=7, $$

а для вершины имеем

$$ a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=3. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b+c=3, \\ a-b+c=7, \\ b=-2a. \end{cases} $$

Подставим $$ b=-2a $$:

$$ \begin{cases} a-2a+c=3, \\ a+2a+c=7. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} -a+c=3, \\ 3a+c=7. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 4a=4, \quad a=1. $$

Тогда

$$ b=-2, \quad c=4. $$

Следовательно,

$$ y=x^2-2x+4. $$

3) Нули функции: $$ x_1=1 $$ и $$ x_2=3 $$, значит

$$ y=a(x-1)(x-3). $$

Вершина параболы находится посередине между корнями, поэтому

$$ x_0=\frac{1+3}{2}=2. $$

Наибольшее значение равно $$ 2 $$, значит вершина имеет координаты $$ (2;2) $$.

Подставим $$ x=2 $$:

$$ 2=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot (-1)=-a. $$

$$ a=-2. $$

Тогда

$$ y=-2(x-1)(x-3)=-2x^2+8x-6. $$

Ответ

1) $$ x=2, \; x=9 $$;

2) $$ x=-4, \; x=3 $$;

3) $$ x=0, \; x=\frac12 $$;

4) $$ x=0, \; x=-\frac53 $$;

5) $$ x=\pm\frac12 $$;

6) $$ x=\pm\frac23 $$;

7) $$ x=\frac15 $$;

8) $$ x=-\frac13 $$;

1) $$ y=x^2-2x $$;

2) $$ y=x^2-2x+4 $$;

3) $$ y=-2x^2+8x-6 $$.