Упр.646 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Решить уравнение:
1) $$(x-9)(2-x)=0$$;
2) $$(x+4)(3-x)=0$$;
3) $$2x^2-x=0$$;
4) $$3x^2+5x=0$$;
5) $$1-4x^2=0$$;
6) $$9x^2-4=0$$;
7) $$\frac{5x^2-x}{x}=0$$;
8) $$\frac{3x^2+x}{x}=0$$.Построить параболу $$y=ax^2+bx+c$$, если известно, что:
1) парабола проходит через точки с координатами $$(0;0)$$, $$(2;0)$$, $$(3;3)$$;
2) точка $$(1;3)$$ является вершиной параболы, а точка $$(-1;7)$$ принадлежит параболе;
3) нулями функции $$y=ax^2+bx+c$$ являются числа $$x_1=1$$ и $$x_2=3$$, а наибольшее значение равно $$2$$.
- $$(x-9)(2-x)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-9=0 \quad \text{или} \quad 2-x=0$$
$$x=9 \quad \text{или} \quad x=2$$ - $$(x+4)(3-x)=0$$
$$x+4=0 \quad \text{или} \quad 3-x=0$$
$$x=-4 \quad \text{или} \quad x=3$$ - $$2x^2-x=0$$
$$x(2x-1)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 2x-1=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12$$ - $$3x^2+5x=0$$
$$x(3x+5)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 3x+5=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac53$$ - $$1-4x^2=0$$
$$4x^2=1$$
$$x^2=\frac14$$
$$x=\pm\frac12$$ - $$9x^2-4=0$$
$$9x^2=4$$
$$x^2=\frac49$$
$$x=\pm\frac23$$ - $$\frac{5x^2-x}{x}=0, \quad x\ne 0$$
Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
$$5x^2-x=0$$
$$x(5x-1)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 5x-1=0$$
Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
$$x=\frac15$$ - $$\frac{3x^2+x}{x}=0, \quad x\ne 0$$
$$3x^2+x=0$$
$$x(3x+1)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 3x+1=0$$
Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
$$x=-\frac13$$
1) Так как парабола проходит через точку $$(0;0)$$, то
$$c=0.$$
Значит, $$y=ax^2+bx.$$
Подставим точки $$(2;0)$$ и $$(3;3)$$:
$$\begin{cases} 4a+2b=0, \\ 9a+3b=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$2a+b=0$$, то есть $$b=-2a$$. Подставим во второе:
$$9a+3(-2a)=3$$
$$3a=3$$
$$a=1, \quad b=-2.$$
Следовательно,
$$y=x^2-2x.$$
2) Вершина параболы $$(1;3)$$, значит абсцисса вершины равна
$$-\frac{b}{2a}=1, \quad \text{то есть} \quad b=-2a.$$
Точка $$(-1;7)$$ принадлежит параболе, поэтому
$$a(-1)^2+b(-1)+c=7,$$
а для вершины имеем
$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=3.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b+c=3, \\ a-b+c=7, \\ b=-2a. \end{cases}$$
Подставим $$b=-2a$$:
$$\begin{cases} a-2a+c=3, \\ a+2a+c=7. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} -a+c=3, \\ 3a+c=7. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$4a=4, \quad a=1.$$
Тогда
$$b=-2, \quad c=4.$$
Следовательно,
$$y=x^2-2x+4.$$
3) Нули функции: $$x_1=1$$ и $$x_2=3$$, значит
$$y=a(x-1)(x-3).$$
Вершина параболы находится посередине между корнями, поэтому
$$x_0=\frac{1+3}{2}=2.$$
Наибольшее значение равно $$2$$, значит вершина имеет координаты $$(2;2)$$.
Подставим $$x=2$$:
$$2=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot (-1)=-a.$$
$$a=-2.$$
Тогда
$$y=-2(x-1)(x-3)=-2x^2+8x-6.$$
Ответ
1) $$x=2, \; x=9$$;
2) $$x=-4, \; x=3$$;
3) $$x=0, \; x=\frac12$$;
4) $$x=0, \; x=-\frac53$$;
5) $$x=\pm\frac12$$;
6) $$x=\pm\frac23$$;
7) $$x=\frac15$$;
8) $$x=-\frac13$$;
1) $$y=x^2-2x$$;
2) $$y=x^2-2x+4$$;
3) $$y=-2x^2+8x-6$$.
