Упр.642 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30? Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы которых лежат на противоположных сторонах прямоугольника, и параллельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая.

1) Пусть спортсменов было $$x$$. Тогда каждый из них подарил сувенир каждому из остальных, значит всего сувениров понадобилось

$$x(x-1)=30.$$

Решим уравнение:

$$ x^2-x-30=0 \\ (x-6)(x+5)=0 $$

Получаем $$x=6$$ или $$x=-5$$. Отрицательное значение не подходит.

Значит, спортсменов было $$6$$.

2) Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ м, а ширина — $$y$$ м. Тогда по условию

$$4x+2y=1600.$$

Выразим $$y$$:

$$ 2y=1600-4x \\ y=800-2x $$

Площадь прямоугольника:

$$ S=xy=x(800-2x)=-2x^2+800x. $$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение площадь принимает в вершине:

$$ x=\frac{-800}{2\cdot(-2)}=200. $$

Тогда

$$ y=800-2\cdot200=400. $$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$200$$ м и $$400$$ м.

Ответ

1) $$6$$ спортсменов. 2) $$200$$ м и $$400$$ м.