Упр.642 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30?
- Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы которых лежат на противоположных сторонах прямоугольника, и параллельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая.
1) Пусть спортсменов было $$x$$. Тогда каждый из них подарил сувенир каждому из остальных, значит всего сувениров понадобилось
$$x(x-1)=30.$$
Решим уравнение:
$$x^2-x-30=0 \\ (x-6)(x+5)=0$$
Получаем $$x=6$$ или $$x=-5$$. Отрицательное значение не подходит.
Значит, спортсменов было $$6$$.
2) Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ м, а ширина — $$y$$ м. Тогда по условию
$$4x+2y=1600.$$
Выразим $$y$$:
$$2y=1600-4x \\ y=800-2x$$
Площадь прямоугольника:
$$S=xy=x(800-2x)=-2x^2+800x.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение площадь принимает в вершине:
$$x=\frac{-800}{2\cdot(-2)}=200.$$
Тогда
$$y=800-2\cdot200=400.$$
Следовательно, стороны прямоугольника равны $$200$$ м и $$400$$ м.
Ответ
1) $$6$$ спортсменов. 2) $$200$$ м и $$400$$ м.
