Упр.640 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) y=x^2+2x+3;
2) y=-x^2+2x+3;
3) y=-3x^2+7x;
4) y=3x^2+4x+5.

Подробный ответ

1) Пусть в турнире участвовало $$x$$ шахматистов. Тогда число партий равно

$$\frac{x(x-1)}{2}=231.$$

Умножим на $$2$$:

$$x(x-1)=462,$$

$$x^2-x-462=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 462=1849=43^2,$$

$$x=\frac{1\pm 43}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-21$$ — не подходит,

$$x_2=22.$$

Значит, в турнире участвовало $$22$$ шахматиста.

2) Для квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$

Если $$a>0$$, то функция имеет наименьшее значение, если $$a<0$$ — наибольшее.

$$y=x^2+2x+3$$
Здесь $$a=1>0$$, значит, ищем минимум:
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$
$$y_{\min}=(-1)^2+2\cdot(-1)+3=1-2+3=2.$$
$$y=-x^2+2x+3$$
Здесь $$a=-1<0$$, значит, ищем максимум:
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
$$y_{\max}=-(1)^2+2\cdot 1+3=-1+2+3=4.$$
$$y=-3x^2+7x$$
Здесь $$a=-3<0$$, значит, ищем максимум:
$$x_0=-\frac{7}{2\cdot(-3)}=\frac{7}{6},$$
$$y_{\max}=-3\left(\frac{7}{6}\right)^2+7\cdot\frac{7}{6}=-3\cdot\frac{49}{36}+\frac{49}{6}=-\frac{49}{12}+\frac{98}{12}=\frac{49}{12}=4\frac{1}{12}.$$
$$y=3x^2+4x+5$$
Здесь $$a=3>0$$, значит, ищем минимум:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 3}=-\frac{2}{3},$$
$$y_{\min}=3\left(-\frac{2}{3}\right)^2+4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+5=3\cdot\frac{4}{9}-\frac{8}{3}+5=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+5=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}.$$