Упр.639 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) y=x^2-5x+6;
2) y=x^2+10x+30;
3) y=-x^2-6x-8;
4) y=2x^2-5x+2;
5) y=-3x^2-3x+1;
6) y=-2x^2-3x-3.

Пусть в турнире участвовало $$x$$ школьников. Тогда каждый сыграл с каждым две партии, значит общее число партий равно $$x(x-1)$$.

Составим уравнение:

$$x(x-1)=56$$

$$x^2-x-56=0$$

$$D=1+224=225,\quad \sqrt{D}=15$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}$$

$$x_1=8,\quad x_2=-7$$

Отрицательное значение не подходит, значит в турнире участвовало 8 школьников.

1) $$y=x^2-5x+6$$

$$y=(x-2)(x-3)$$

Нули функции: $$x=2$$ и $$x=3$$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $$y>0$$ при $$x<2$$ и $$x>3$$, а $$y<0$$ при $$2<x<3$$.

Вершина:

$$x_0=\frac{5}{2}=2{,}5,\quad y_0=(2{,}5)^2-5\cdot 2{,}5+6=-0{,}25$$

Функция убывает при $$x\le 2{,}5$$ и возрастает при $$x\ge 2{,}5$$. Наименьшее значение равно $$-0{,}25$$.

2) $$y=x^2+10x+30$$

$$y=(x+5)^2+5$$

Так как $$ (x+5)^2\ge 0 $$, то $$y\ge 5$$ при всех $$x$$, следовательно, $$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$, а значений, где $$y<0$$, нет.

Вершина:

$$x_0=-5,\quad y_0=5$$

Функция убывает при $$x\le -5$$ и возрастает при $$x\ge -5$$. Наименьшее значение равно $$5$$.

3) $$y=-x^2-6x-8$$

$$y=-(x+2)(x+4)$$

Нули функции: $$x=-4$$ и $$x=-2$$. Парабола направлена вниз, поэтому $$y>0$$ при $$-4<x<-2$$, а $$y<0$$ при $$x<-4$$ и $$x>-2$$.

Вершина:

$$x_0=-3,\quad y_0=-(-3)^2-6\cdot(-3)-8=1$$

Функция возрастает при $$x\le -3$$ и убывает при $$x\ge -3$$. Наибольшее значение равно $$1$$.

4) $$y=2x^2-5x+2$$

$$D=25-16=9$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

$$x_1=\frac12,\quad x_2=2$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то $$y>0$$ при $$x<\frac12$$ и $$x>2$$, а $$y<0$$ при $$\frac12<x<2$$.

Вершина:

$$x_0=\frac{5}{4}=1{,}25,\quad y_0=2\cdot(1{,}25)^2-5\cdot1{,}25+2=-1{,}125$$

Функция убывает при $$x\le 1{,}25$$ и возрастает при $$x\ge 1{,}25$$. Наименьшее значение равно $$-1{,}125$$.

5) $$y=-3x^2-3x+1$$

$$-3x^2-3x+1=0$$

$$D=9+12=21$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{6}$$

Парабола направлена вниз, значит $$y>0$$ при

$$\frac{-3-\sqrt{21}}{6}<x<\frac{-3+\sqrt{21}}{6}$$

и $$y<0$$ при

$$x<\frac{-3-\sqrt{21}}{6}\quad \text{или}\quad x>\frac{-3+\sqrt{21}}{6}$$

Вершина:

$$x_0=-\frac12,\quad y_0=-3\left(-\frac12\right)^2-3\left(-\frac12\right)+1=\frac74$$

Функция возрастает при $$x\le -\frac12$$ и убывает при $$x\ge -\frac12$$. Наибольшее значение равно $$\frac74$$.

6) $$y=-2x^2-3x-3$$

Дискриминант:

$$D=9-24=-15<0$$

Корней нет, а так как ветви параболы направлены вниз, то $$y<0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$, значений, где $$y>0$$, нет.

Вершина:

$$x_0=-\frac34,\quad y_0=-2\left(-\frac34\right)^2-3\left(-\frac34\right)-3=-\frac78$$

Функция возрастает при $$x\le -\frac34$$ и убывает при $$x\ge -\frac34$$. Наибольшее значение равно $$-\frac78$$.

Ответ

В турнире участвовало 8 школьников.