Упр.638 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2/(x^2-x+1)=1/(x+1)+(2x-1)/(x^3+1);
2) 30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)=(7+18x)/(x^3-1).
Найти координаты вершины параболы:
1) y=x^2-4x-5;
2) y=-x^2-2x+3;
3) y=x^2-6x+10;
4) y=x^2+x+5/4;
5) y=-2x(x+2);
6) y=(x-2)(x+3).

1. $$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$

   Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),$$ получаем при $$x\ne -1$$:

   $$\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}=0$$

   Умножим на $$ (x+1)(x^2-x+1) $$:

   $$2(x+1)-(x^2-x+1)-(2x-1)=0$$

   $$2x+2-x^2+x-1-2x+1=0$$

   $$-x^2+x+2=0$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$ (x-2)(x+1)=0 $$

   $$x=2 \text{ или } x=-1.$$

   Значение $$x=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Поэтому

   $$x=2.$$

2. $$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$

   Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$ то при $$x\ne \pm 1$$:

   $$\frac{30}{(x-1)(x+1)}-\frac{13}{x^2+x+1}-\frac{7+18x}{(x-1)(x^2+x+1)}=0$$

   Умножим на $$ (x-1)(x^2+x+1) $$:

   $$30(x^2+x+1)-13(x^2-1)-(7+18x)(x+1)=0$$

   $$30x^2+30x+30-13x^2+13-7x-7-18x^2-18x=0$$

   $$-x^2+5x+36=0$$

   $$x^2-5x-36=0$$

   $$ (x-9)(x+4)=0 $$

   $$x=9 \text{ или } x=-4.$$

   Оба значения допустимы.

3. Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

   1) $$y=x^2-4x-5$$

   $$x_0=\frac{4}{2}=2,\quad y_0=2^2-4\cdot 2-5=-9.$$

   Вершина: $$ (2;\,-9). $$

   2) $$y=-x^2-2x+3$$

   $$x_0=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,\quad y_0=-(-1)^2-2\cdot(-1)+3=4.$$

   Вершина: $$ (-1;\,4). $$

   3) $$y=x^2-6x+10$$

   $$x_0=\frac{6}{2}=3,\quad y_0=3^2-6\cdot 3+10=1.$$

   Вершина: $$ (3;\,1). $$

   4) $$y=x^2+x+\frac{5}{4}$$

   $$x_0=-\frac{1}{2},\quad y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}=1.$$

   Вершина: $$ \left(-\frac{1}{2};\,1\right). $$

   5) $$y=-2x(x+2)=-2x^2-4x$$

   $$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=-1,\quad y_0=-2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=2.$$

   Вершина: $$ (-1;\,2). $$

   6) $$y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$$

   $$x_0=-\frac{1}{2},\quad y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-6=-\frac{25}{4}.$$

   Вершина: $$ \left(-\frac{1}{2};\,-\frac{25}{4}\right). $$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=-4,\ 9$$; 3) $$ (2;\,-9),\ (-1;\,4),\ (3;\,1),\ \left(-\frac{1}{2};\,1\right),\ (-1;\,2),\ \left(-\frac{1}{2};\,-\frac{25}{4}\right). $$