Упр.638 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2024 года. Решить уравнение:
1) $$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$;
2) $$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$. - Задание учебника 2013 года. Найти координаты вершины параболы:
1) $$y=x^2-4x-5$$;
2) $$y=-x^2-2x+3$$;
3) $$y=x^2-6x+10$$;
4) $$y=x^2+x+\frac{5}{4}$$;
5) $$y=-2x(x+2)$$;
6) $$y=(x-2)(x+3)$$.
$$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$
Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),$$ получаем при $$x\ne -1$$:
$$\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}=0$$
Умножим на $$(x+1)(x^2-x+1)$$:
$$2(x+1)-(x^2-x+1)-(2x-1)=0$$
$$2x+2-x^2+x-1-2x+1=0$$
$$-x^2+x+2=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$(x-2)(x+1)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Значение $$x=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Поэтому
$$x=2.$$
$$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$
Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1), \quad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$ то при $$x\ne \pm 1$$:
$$\frac{30}{(x-1)(x+1)}-\frac{13}{x^2+x+1}-\frac{7+18x}{(x-1)(x^2+x+1)}=0$$
Умножим на $$(x-1)(x^2+x+1)$$:
$$30(x^2+x+1)-13(x^2-1)-(7+18x)(x+1)=0$$
$$30x^2+30x+30-13x^2+13-7x-7-18x^2-18x=0$$
$$-x^2+5x+36=0$$
$$x^2-5x-36=0$$
$$(x-9)(x+4)=0$$
$$x=9 \text{ или } x=-4.$$
Оба значения допустимы.
Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.
1) $$y=x^2-4x-5$$
$$x_0=\frac{4}{2}=2,\quad y_0=2^2-4\cdot 2-5=-9.$$
Вершина: $$(2;\,-9).$$
2) $$y=-x^2-2x+3$$
$$x_0=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,\quad y_0=-(-1)^2-2\cdot(-1)+3=4.$$
Вершина: $$(-1;\,4).$$
3) $$y=x^2-6x+10$$
$$x_0=\frac{6}{2}=3,\quad y_0=3^2-6\cdot 3+10=1.$$
Вершина: $$(3;\,1).$$
4) $$y=x^2+x+\frac{5}{4}$$
$$x_0=-\frac{1}{2},\quad y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}=1.$$
Вершина: $$\left(-\frac{1}{2};\,1\right).$$
5) $$y=-2x(x+2)=-2x^2-4x$$
$$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-2)}=-1,\quad y_0=-2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=2.$$
Вершина: $$(-1;\,2).$$
6) $$y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$$
$$x_0=-\frac{1}{2},\quad y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-6=-\frac{25}{4}.$$
Вершина: $$\left(-\frac{1}{2};\,-\frac{25}{4}\right).$$
Ответ
1) $$x=2$$; 2) $$x=-4,\ 9$$; 3) $$(2;\,-9),\ (-1;\,4),\ (3;\,1),\ \left(-\frac{1}{2};\,1\right),\ (-1;\,2),\ \left(-\frac{1}{2};\,-\frac{25}{4}\right).$$
