Упр.637 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) y=x^2+x-12;
2) y=-x^2+3x+10;
3) y=-8x^2-2x+1;
4) y=7x^2+4x-11;
5) y=5x^2+x-1;
6) y=5x^2+3x-2;
7) y=4x^2-11x+6;
8) y=3x^2+13x-10.

Подробный ответ

Пусть корни уравнения $$x^2+px-3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=-3.$$

По условию:

$$x_1^2+x_2^2=10.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$10=(-p)^2-2\cdot(-3)=p^2+6.$$

Отсюда

$$p^2=4,$$

значит,

$$p=\pm 2.$$

Найдём точки пересечения каждой параболы с осями координат. С осью $$Oy$$ график пересекается при $$x=0$$, с осью $$Ox$$ — при $$y=0$$.

$$y=x^2+x-12$$
При $$x=0$$: $$y=-12$$, точка $$ (0;-12) $$.
При $$y=0$$:
$$x^2+x-12=0$$
$$ (x+4)(x-3)=0 $$
$$x=-4,\; x=3.$$
Точки $$(-4;0)$$ и $$(3;0)$$.
$$y=-x^2+3x+10$$
При $$x=0$$: $$y=10$$, точка $$(0;10)$$.
При $$y=0$$:
$$-x^2+3x+10=0$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$ (x-5)(x+2)=0 $$
$$x=5,\; x=-2.$$
Точки $$(-2;0)$$ и $$(5;0)$$.
$$y=-8x^2-2x+1$$
При $$x=0$$: $$y=1$$, точка $$(0;1)$$.
При $$y=0$$:
$$-8x^2-2x+1=0$$
$$8x^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot 8\cdot(-1)=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{16}.$$
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac14.$$
Точки $$\left(-\frac12;0\right)$$ и $$\left(\frac14;0\right)$$.
$$y=7x^2+4x-11$$
При $$x=0$$: $$y=-11$$, точка $$(0;-11)$$.
При $$y=0$$:
$$7x^2+4x-11=0$$
$$D=4^2-4\cdot 7\cdot(-11)=324,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 18}{14}.$$
$$x_1=-\frac{11}{7},\qquad x_2=1.$$
Точки $$\left(-\frac{11}{7};0\right)$$ и $$(1;0)$$.
$$y=5x^2+x-1$$
При $$x=0$$: $$y=-1$$, точка $$(0;-1)$$.
При $$y=0$$:
$$5x^2+x-1=0$$
$$D=1-4\cdot 5\cdot(-1)=21,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{21}}{10}.$$
Точки $$\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{10};0\right)$$ и $$\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{10};0\right)$$.
$$y=5x^2+3x-2$$
При $$x=0$$: $$y=-2$$, точка $$(0;-2)$$.
При $$y=0$$:
$$5x^2+3x-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 5\cdot(-2)=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{10}.$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac25.$$
Точки $$(-1;0)$$ и $$\left(\frac25;0\right)$$.
$$y=4x^2-11x+6$$
При $$x=0$$: $$y=6$$, точка $$(0;6)$$.
При $$y=0$$:
$$4x^2-11x+6=0$$
$$D=11^2-4\cdot 4\cdot 6=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{8}.$$
$$x_1=\frac34,\qquad x_2=2.$$
Точки $$\left(\frac34;0\right)$$ и $$(2;0)$$.
$$y=3x^2+13x-10$$
При $$x=0$$: $$y=-10$$, точка $$(0;-10)$$.
При $$y=0$$:
$$3x^2+13x-10=0$$
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot(-10)=289,$$
$$x_{1,2}=\frac{-13\pm 17}{6}.$$
$$x_1=-5,\qquad x_2=\frac23.$$
Точки $$(-5;0)$$ и $$\left(\frac23;0\right)$$.