Упр.635 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) y=x^2-4 и y=2x-4;
2) y=x^2-2x-5 и y=2x^2+3x+1;
3) y=x^2 и y=3x-2;
4) y=x^2+x-2 и y=(x+3)(x-4).

1) Пусть второй корень уравнения $$ (a-7)x^2+13x-a=0 $$ равен $$x_2$$, а один из корней $$x_1=2$$. Тогда по теореме Виета:

$$ x_1+x_2=-\frac{13}{a-7}, \qquad x_1x_2=-\frac{a}{a-7}. $$

Подставим $$x_1=2$$:

$$ 2+x_2=-\frac{13}{a-7}, \qquad 2x_2=-\frac{a}{a-7}. $$

Из первого равенства:

$$ x_2=-\frac{13}{a-7}-2. $$

Подставим во второе:

$$ 2\left(-\frac{13}{a-7}-2\right)=-\frac{a}{a-7}. $$

$$ \frac{2(1-2a)}{a-7}=-\frac{a}{a-7} $$

$$ 2-4a=-a $$

$$ 3a=2,\qquad a=\frac{2}{3}. $$

Теперь найдём второй корень:

$$ x_2=-\frac{13}{\frac{2}{3}-7}-2=-\frac{13}{-\frac{19}{3}}-2=\frac{39}{19}-2=\frac{1}{19}. $$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2-4$$ и $$y=2x-4$$:

$$ x^2-4=2x-4 $$

$$ x^2-2x=0 $$

$$ x(x-2)=0 $$

$$ x_1=0,\qquad x_2=2. $$

Тогда:

$$ y_1=0^2-4=-4,\qquad y_2=2\cdot 2-4=0. $$

Точки пересечения: $$ (0;-4) $$ и $$ (2;0) $$.

3) Для графиков $$y=x^2-2x-5$$ и $$y=2x^2+3x+1$$:

$$ x^2-2x-5=2x^2+3x+1 $$

$$ x^2+5x+6=0 $$

$$ (x+2)(x+3)=0 $$

$$ x_1=-2,\qquad x_2=-3. $$

Найдём ординаты:

$$ y_1=(-2)^2-2\cdot(-2)-5=3,\qquad y_2=(-3)^2-2\cdot(-3)-5=10. $$

Точки пересечения: $$ (-2;3) $$ и $$ (-3;10) $$.

4) Для графиков $$y=x^2$$ и $$y=3x-2$$:

$$ x^2=3x-2 $$

$$ x^2-3x+2=0 $$

$$ (x-1)(x-2)=0 $$

$$ x_1=1,\qquad x_2=2. $$

Тогда:

$$ y_1=1^2=1,\qquad y_2=2^2=4. $$

Точки пересечения: $$ (1;1) $$ и $$ (2;4) $$.

5) Для графиков $$y=x^2+x-2$$ и $$y=(x+3)(x-4)$$:

$$ x^2+x-2=(x+3)(x-4) $$

$$ x^2+x-2=x^2-x-12 $$

$$ 2x+10=0 $$

$$ x=-5. $$

Найдём ординату:

$$ y=(-5)^2+(-5)-2=18. $$

Точка пересечения: $$ (-5;18) $$.

Ответ

$$ a=\frac{2}{3},\quad x_2=\frac{1}{19}; $$
$$ (0;-4),\ (2;0); $$
$$ (-2;3),\ (-3;10); $$
$$ (1;1),\ (2;4); $$
$$ (-5;18). $$