Упр.634 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/x_1 +1/x_2 ;
2) x_1^2+x_2^2;
3) x_1/x_2 +x_2/x_1 ;
4) x_1^4+x_2^4.
Найти значения x, при которых квадратичная функция y=2x^2-5x+3 принимает значение, равное:
1) 0; 2) 1; 3) 10; 4) -1.

Для уравнения $$x^2-7x-21=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=-21.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{7}{-21}=-\frac13.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7^2-2\cdot(-21)=49+42=91.$$

3. $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{91}{-21}=-\frac{13}{3}=-4\frac13.$$

4. $$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2=91^2-2\cdot(-21)^2=8281-882=7399.$$

Теперь найдём значения $$x$$, при которых функция $$y=2x^2-5x+3$$ принимает заданные значения.

1. $$2x^2-5x+3=0$$

   $$D=25-4\cdot2\cdot3=1.$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}$$

   $$x_1=1,\qquad x_2=\frac32.$$

2. $$2x^2-5x+3=1$$

   $$2x^2-5x+2=0$$

   $$D=25-4\cdot2\cdot2=9.$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm3}{4}$$

   $$x_1=\frac12,\qquad x_2=2.$$

3. $$2x^2-5x+3=10$$

   $$2x^2-5x-7=0$$

   $$D=25+4\cdot2\cdot7=81.$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm9}{4}$$

   $$x_1=-1,\qquad x_2=\frac72.$$

4. $$2x^2-5x+3=-1$$

   $$2x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-4\cdot2\cdot4=25-32=-7<0.$$

   Действительных корней нет, значит, функция не принимает значение $$-1$$.

Ответ

1) $$-\frac13$$; 2) $$91$$; 3) $$-\frac{13}{3}$$; 4) $$7399$$.

Для функции $$y=2x^2-5x+3$$: 1) $$x=1,\ \frac32$$; 2) $$x=\frac12,\ 2$$; 3) $$x=-1,\ \frac72$$; 4) значению $$-1$$ функция не соответствует.