Упр.632 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x_1=3, x_2=-1;
2) x_1=2, x_2=3;
3) x_1=0, x_2=4;
4) x_1=-1, x_2=5.
Построить график функции:
1) y=|2x^2 -x-1|; 2) y=x^2 -5|x|-6.
Если корни квадратного уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$, то приведённое уравнение имеет вид
$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$
1) $$x_1=3,\; x_2=-1$$
$$x_1+x_2=3+(-1)=2,\qquad x_1x_2=3\cdot(-1)=-3.$$
$$x^2-2x-3=0.$$
2) $$x_1=2,\; x_2=3$$
$$x_1+x_2=2+3=5,\qquad x_1x_2=2\cdot3=6.$$
$$x^2-5x+6=0.$$
3) $$x_1=0,\; x_2=4$$
$$x_1+x_2=0+4=4,\qquad x_1x_2=0\cdot4=0.$$
$$x^2-4x=0.$$
4) $$x_1=-1,\; x_2=5$$
$$x_1+x_2=-1+5=4,\qquad x_1x_2=(-1)\cdot5=-5.$$
$$x^2-4x-5=0.$$
1) Построим график функции $$y=\lvert 2x^2-x-1\rvert.$$
Сначала рассмотрим параболу $$y=2x^2-x-1.$$
Её вершина:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{4},\qquad y_0=2\left(\frac14\right)^2-\frac14-1=-\frac98.$$
Значит, вершина параболы: $$\left(\frac14;-\frac98\right).$$
Найдём нули функции:
$$2x^2-x-1=0,$$
$$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm3}{4}.$$
Отсюда $$x_1=-\frac12,\; x_2=1.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(-\frac12;0\right)$$ и $$\left(1;0\right).$$
Так как берётся модуль, часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается симметрично вверх относительно оси $$Ox$$.
2) Построим график функции $$y=x^2-5|x|-6.$$
При $$x\ge 0$$ имеем
$$y=x^2-5x-6.$$
Вершина этой параболы:
$$x_0=\frac{5}{2},\qquad y_0=\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52-6=-\frac{49}{4}.$$
При $$x\le 0$$ имеем
$$y=x^2+5x-6.$$
Вершина этой параболы:
$$x_0=-\frac{5}{2},\qquad y_0=\left(-\frac52\right)^2+5\cdot\left(-\frac52\right)-6=-\frac{49}{4}.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$. Для построения удобно отметить точки:
$$y(0)=-6,\qquad y(\pm1)=-10,\qquad y(\pm6)=0.$$
Ответ
1) $$x^2-2x-3=0;$$ $$x^2-5x+6=0;$$ $$x^2-4x=0;$$ $$x^2-4x-5=0.$$
2) График функции $$y=\lvert 2x^2-x-1\rvert$$ получается отражением части параболы $$y=2x^2-x-1$$ ниже оси $$Ox$$ вверх; для $$y=x^2-5|x|-6$$ график состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси $$Oy$$.
