Упр.631 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) ветви параболы направлены вверх, абсцисса ее вершины отрицательна, а ордината положительна;
2) ветви параболы направлены вниз, абсцисса и ордината ее вершины отрицательны.

Подробный ответ

Пусть скорость автомобиля равна $$x$$ км/ч, а скорость автобуса — $$y$$ км/ч.

Автомобиль был в пути до встречи и после неё всего $$\frac{100}{x}$$ ч, автобус — $$\frac{100}{y}$$ ч.

После встречи автомобиль ехал ещё $$40$$ мин $$= \frac{2}{3}$$ ч, а автобус — ещё $$1{,}5$$ ч. Тогда до встречи автомобиль был в пути на $$1{,}5-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$$ ч меньше, чем автобус.

Составим уравнение:

$$\frac{100}{y}-\frac{100}{x}=\frac{5}{6}$$

или

$$600x-600y=5xy.$$

Из условия также:

$$\frac{100}{x}+\frac{2}{3}=\frac{100}{y}+1{,}5,$$

что приводит к тому же соотношению между скоростями. Решим полученное уравнение:

$$600x-600y=5xy$$

$$120x-120y=xy$$

$$x=\frac{120y}{120-y}.$$

Подставим в уравнение и получим квадратное уравнение для $$y$$:

$$y^2-240y+8000=0.$$

Найдём корни:

$$D=240^2-4\cdot 8000=6400,$$

$$\sqrt{D}=80,$$

$$y_1=\frac{240-80}{2}=40,\qquad y_2=\frac{240+80}{2}=160.$$

При $$y=160$$ получаем отрицательное значение $$x$$, поэтому этот корень не подходит. Тогда

$$y=40,$$

$$x=\frac{120\cdot 40}{120-40}=60.$$

Значит, скорость автомобиля $$60$$ км/ч, а скорость автобуса $$40$$ км/ч.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$:

Если ветви направлены вверх, то $$a>0$$. Абсцисса вершины отрицательна:
$$x_0=-\frac{b}{2a}<0.$$
Так как $$a>0$$, то $$b>0$$. Ордината вершины положительна, значит $$c>0$$.
Если ветви направлены вниз, то $$a<0$$. Абсцисса вершины отрицательна:
$$x_0=-\frac{b}{2a}<0.$$
Так как $$a<0$$, то $$b<0$$. Ордината вершины положительна, значит $$c>0$$.