Упр.630 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) y=x^2 -2x-4; 2) y=-x^2 + 4x+3; 3) y=3x^2 -6x+1.
Пусть первый рабочий изготавливал $$x$$ деталей в час, а второй — $$y$$ деталей в час. Тогда время на изготовление одной детали у первого равно $$\frac{1}{x}$$ ч, у второго — $$\frac{1}{y}$$ ч.
По условию первый рабочий тратил на одну деталь на $$2{,}5$$ мин больше, чем второй, то есть на $$\frac{1}{24}$$ ч больше. Значит,
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{24}.$$
После изменения производительности первый стал делать на 3 детали в час больше, а второй — на 1 деталь в час больше, и их производительность стала одинаковой:
$$x+3=y+1,$$
откуда
$$x-y=-2.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{24},\\ x-y=-2. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$24xy$$:
$$24y-24x=xy.$$
Так как $$x-y=-2$$, то $$y=x+2$$. Подставим:
$$x(x+2)=48.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$x^2+2x-48=0.$$
$$ (x-6)(x+8)=0, $$
откуда $$x=6$$ или $$x=-8$$. Отрицательное значение не подходит, значит, $$x=6$$.
Тогда
$$y=x+2=8.$$
Теперь найдём наибольшее или наименьшее значение квадратичных функций.
$$y=x^2-2x-4.$$
Ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет наименьшее значение в вершине:
$$x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1,$$
$$y_{\min}=1^2-2\cdot 1-4=-5.$$
$$y=-x^2+4x+3.$$
Ветви параболы направлены вниз, значит, функция имеет наибольшее значение в вершине:
$$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2,$$
$$y_{\max}=-2^2+4\cdot 2+3=7.$$
$$y=3x^2-6x+1.$$
Ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет наименьшее значение в вершине:
$$x_0=\frac{-(-6)}{2\cdot 3}=1,$$
$$y_{\min}=3\cdot 1^2-6\cdot 1+1=-2.$$
Ответ
Первый рабочий — $$6$$ деталей в час, второй — $$8$$ деталей в час.
1) при $$x=1$$, $$y_{\min}=-5$$; 2) при $$x=2$$, $$y_{\max}=7$$; 3) при $$x=1$$, $$y_{\min}=-2$$.
