Упр.63 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^2+b^2)/(x^3+x^2 y) · (x^2-y^2)/(a^4-b^4 ) = (x-y)/x(a^2-b^2 ) ;
2) (a^2+b^2)/(a^2-ab) : (a^4 b-b^5)/(a^2 b-ab^2 ) = 1/(a^2-b^2 ).
Стороны треугольника меньше соответственно 7 см, 1 м 15 см и 1 м 11 см. Доказать, что его периметр меньше 3 м.

Подробный ответ

Проверим равенство
$$\frac{a^2+b^2}{x^3+x^2y}\cdot\frac{x^2-y^2}{a^4-b^4}=\frac{x-y}{x(a^2-b^2)}.$$
Разложим на множители:
$$x^3+x^2y=x^2(x+y), \quad x^2-y^2=(x-y)(x+y), \quad a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2).$$
Тогда левая часть равна
$$\frac{a^2+b^2}{x^2(x+y)}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}=\frac{x-y}{x^2(a^2-b^2)}.$$
Получили
$$\frac{x-y}{x^2(a^2-b^2)}\ne \frac{x-y}{x(a^2-b^2)}.$$
Значит, равенство неверно.
Проверим равенство
$$\frac{a^2+b^2}{a^2-ab}:\frac{a^4b-b^5}{a^2b-ab^2}=\frac{1}{a^2-b^2}.$$
Преобразуем делитель:
$$a^4b-b^5=b(a^4-b^4)=b(a^2-b^2)(a^2+b^2),$$
$$a^2b-ab^2=ab(a-b), \quad a^2-ab=a(a-b).$$
Тогда
$$\frac{a^2+b^2}{a(a-b)}:\frac{b(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{ab(a-b)}$$
$$=\frac{a^2+b^2}{a(a-b)}\cdot\frac{ab(a-b)}{b(a^2-b^2)(a^2+b^2)}=\frac{1}{a^2-b^2}.$$
Равенство верно.
Пусть стороны треугольника меньше соответственно $$7$$ см, $$115$$ см и $$111$$ см. Тогда для периметра $$P$$ имеем:
$$P=a+b+c<7+115+111=233\text{ см}.$$
Так как $$233<300$$, то
$$P<300\text{ см}=3\text{ м}.$$
Следовательно, периметр треугольника меньше $$3$$ м.