Упр.629 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(y^2-3xy+x^2-x+y+9=0
y-x=2)+
2) {(x^2+2xy+y^2-x-y=6
x-2y=3)+
3) {(xy=2
xz=3
x^2+y^2=5)+
4) {(x^2+y^2+z^2=30
y-x=3
y-z=4)+
В треугольнике сумма основания и высоты, опущенной на это основание, равна 14 см. Может ли такой треугольник иметь площадь, равную 25 см^2 ?

1. 1)
   $$\begin{cases} y^2-3xy+x^2-x+y+9=0,\\ y-x=2. \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=x+2.$$ Подставим в первое:
   $$ (x+2)^2-3x(x+2)+x^2-x+(x+2)+9=0. $$
   Упростим:
   $$x^2+4x+4-3x^2-6x+x^2+2+9=0,$$
   $$-x^2-2x+15=0,$$
   $$x^2+2x-15=0.$$
   Тогда
   $$x=-5 \text{ или } x=3.$$
   Найдём $$y$$:
   $$x=-5 \Rightarrow y=-3,$$
   $$x=3 \Rightarrow y=5.$$
   Получаем решения:
   $$(-5;\,-3),\ (3;\,5).$$

2. 2)
   $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2-x-y=6,\\ x-2y=3. \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=3+2y.$$ Подставим в первое:
   $$ (3+2y)^2+2(3+2y)y+y^2-(3+2y)-y=6. $$
   Упростим:
   $$9+12y+4y^2+6y+4y^2+y^2-3-2y-y=6,$$
   $$9y^2+15y=0,$$
   $$3y(3y+5)=0.$$
   Значит,
   $$y=0 \text{ или } y=-\frac{5}{3}.$$
   Тогда
   $$y=0 \Rightarrow x=3,$$
   $$y=-\frac{5}{3} \Rightarrow x=\frac{1}{3}.$$
   Ответ:
   $$(3;\,0),\ \left(\frac{1}{3};\,-\frac{5}{3}\right).$$

3. 3)
   $$\begin{cases} xy=2,\\ xz=3,\\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$
   Из первых двух уравнений:
   $$y=\frac{2}{x}, \qquad z=\frac{3}{x}.$$
   Подставим в третье:
   $$x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-5x^2+4=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-5t+4=0,$$
   $$t=1 \text{ или } t=4.$$
   Значит,
   $$x=\pm 1 \text{ или } x=\pm 2.$$
   Найдём соответствующие $$y$$ и $$z$$:
   $$x=1 \Rightarrow y=2,\ z=3;$$
   $$x=2 \Rightarrow y=1,\ z=\frac{3}{2};$$
   $$x=-1 \Rightarrow y=-2,\ z=-3;$$
   $$x=-2 \Rightarrow y=-1,\ z=-\frac{3}{2}.$$
   Ответ:
   $$(-1;\,-2;\,-3),\ (1;\,2;\,3),\ (-2;\,-1;\,-\frac{3}{2}),\ (2;\,1;\,\frac{3}{2}).$$

4. 4)
   $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=30,\\ y-x=3,\\ y-z=4. \end{cases}$$
   Из второго и третьего уравнений:
   $$x=y-3,\qquad z=y-4.$$
   Подставим в первое:
   $$ (y-3)^2+y^2+(y-4)^2=30. $$
   Получаем:
   $$y^2-6y+9+y^2+y^2-8y+16=30,$$
   $$3y^2-14y-5=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256,$$
   $$\sqrt{D}=16.$$
   Тогда
   $$y=\frac{14\pm 16}{6},$$
   $$y=5 \text{ или } y=-\frac{1}{3}.$$
   Найдём остальные переменные:
   $$y=5 \Rightarrow x=2,\ z=1;$$
   $$y=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=-\frac{10}{3},\ z=-\frac{13}{3}.$$
   Ответ:
   $$(2;\,5;\,1),\ \left(-\frac{10}{3};\,-\frac{1}{3};\,-\frac{13}{3}\right).$$

5. 5)
   Пусть основание треугольника равно $$x$$ см, тогда высота равна $$14-x$$ см.
   Площадь:
   $$S=\frac{1}{2}x(14-x)=7x-\frac{1}{2}x^2.$$
   Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение площади достигается в вершине:
   $$x_0=\frac{-7}{2\cdot(-\frac{1}{2})}=7.$$
   Тогда
   $$S_{\max}=7\cdot 7-\frac{1}{2}\cdot 7^2=49-\frac{49}{2}=\frac{49}{2}=24{,}5\ \text{см}^2.$$
   Так как $$25>24{,}5,$$ такой треугольник не может иметь площадь $$25\ \text{см}^2.$$

Ответ

1) $$(-5;\,-3),\ (3;\,5);$$
2) $$\left(\frac{1}{3};\,-\frac{5}{3}\right),\ (3;\,0);$$
3) $$(-1;\,-2;\,-3),\ (1;\,2;\,3),\ (-2;\,-1;\,-\frac{3}{2}),\ (2;\,1;\,\frac{3}{2});$$
4) $$\left(-\frac{10}{3};\,-\frac{1}{3};\,-\frac{13}{3}\right),\ (2;\,5;\,1);$$
5) не может.