Упр.628 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(2x^2-y=2
x-y=1)+
2) {(x^2-xy-y^2=19
x-y=7)+
3) {(4/(x-1)-7/(y-1)=1
3/(x+3)=2/y)+
4) {(3/(x+5)+2/(y-3)=2
4/(x-2)=1/(y-6))+
Участок прямоугольной формы, примыкающей к стене дома, требуется огородить с трех сторон забором длиной 12 м. Какими должны быть размеры участка, чтобы площадь его была наибольшей?

1. $$\begin{cases} 2x^2-y=2,\\ x-y=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-1.$$
   Подставим в первое:
   $$2x^2-(x-1)=2,$$
   $$2x^2-x-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x=\frac{1\pm 3}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac12,\quad y_1=-\frac32;$$
   $$x_2=1,\quad y_2=0.$$

2. $$\begin{cases} x^2-xy-y^2=19,\\ x-y=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x-7.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-x(x-7)-(x-7)^2=19,$$
   $$x^2-x^2+7x-(x^2-14x+49)=19,$$
   $$x^2-21x+68=0.$$
   $$D=441-272=169,$$
   $$x=\frac{21\pm 13}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=17,\quad y_1=10;$$
   $$x_2=4,\quad y_2=-3.$$

3. $$\begin{cases} \dfrac{4}{x-1}-\dfrac{7}{y-1}=1,\\ \dfrac{3}{x+3}=\dfrac{2}{y} \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$3y=2(x+3),\quad y=\frac{2x+6}{3}.$$
   Первое уравнение преобразуем:
   $$4(y-1)-7(x-1)=(x-1)(y-1).$$
   После подстановки получаем:
   $$x^2+7x-18=0.$$
   $$D=49+72=121,$$
   $$x=\frac{-7\pm 11}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-9,\quad y_1=-4;$$
   $$x_2=2,\quad y_2=\frac{10}{3}.$$

4. $$\begin{cases} \dfrac{3}{x+5}+\dfrac{2}{y-3}=2,\\ \dfrac{4}{x-2}=\dfrac{1}{y-6} \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$4(y-6)=x-2,\quad x=4y-22.$$
   Первое уравнение преобразуем:
   $$3(y-3)+2(x+5)=2(x+5)(y-3).$$
   Подставим $$x=4y-22$$:
   $$8y^2-69y+145=0.$$
   $$D=69^2-4\cdot 8\cdot 145=121,$$
   $$y=\frac{69\pm 11}{16}.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac{29}{8},\quad x_1=-\frac{15}{2};$$
   $$y_2=5,\quad x_2=-2.$$

5. Пусть одна сторона участка равна $$x$$ м, тогда другая сторона равна $$12-2x$$ м.
   Площадь участка:
   $$S=x(12-2x)=-2x^2+12x.$$
   Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:
   $$x_0=\frac{-12}{2\cdot(-2)}=3.$$
   Тогда
   $$12-2x_0=12-2\cdot 3=6.$$
   Следовательно, размеры участка: $$3$$ м и $$6$$ м.

Ответ

1) $$(-\frac12;-\frac32),\ (1;0)$$
2) $$(17;10),\ (4;-3)$$
3) $$(-9;-4),\ (2;\frac{10}{3})$$
4) $$(-\frac{15}{2};\frac{29}{8}),\ (-2;5)$$
5) $$3\text{ м и }6\text{ м}$$