Упр.627 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. На эстрадный концерт в клубе было продано на $$20\,000\text{ р.}$$ билетов по одной стоимости и на $$12\,000\text{ р.}$$ билетов стоимостью на $$50\text{ р.}$$ больше. Каковы цены билетов, если на концерте было $$280$$ человек?
2. Сумма двух чисел равна $$10$$. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

Пусть билеты по первой цене стоили $$x$$ руб., тогда билеты по второй цене — $$x+50$$ руб.

По условию продано билетов на сумму $$20000$$ руб. и $$12000$$ руб., а всего было $$280$$ человек. Составим уравнение:

$$\frac{20000}{x}+\frac{12000}{x+50}=280$$

Умножим обе части на $$x(x+50)$$:

$$20000(x+50)+12000x=280x(x+50)$$

$$20000x+1000000+12000x=280x^2+14000x$$

$$280x^2-18000x-1000000=0$$

Разделим на $$-40$$:

$$7x^2-450x-25000=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-450)^2-4\cdot 7\cdot(-25000)=202500+700000=902500$$

$$\sqrt{D}=950$$

Тогда

$$x=\frac{450\pm 950}{14}$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1400}{14}=100,\qquad x_2=\frac{-500}{14}<0$$

Отрицательный корень не подходит, значит первая цена билета равна $$100$$ руб., а вторая:

$$100+50=150$$ руб.

Теперь решим вторую задачу. Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе равно $$10-x$$.

Сумма кубов:

$$x^3+(10-x)^3$$

Раскроем скобки:

$$x^3+1000-300x+30x^2-x^3=30x^2-300x+1000$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$x_0=\frac{300}{2\cdot 30}=5$$

Тогда второе число:

$$10-5=5$$

Следовательно, искомые числа — $$5$$ и $$5$$.

Ответ

1) $$100$$ руб. и $$150$$ руб.; 2) $$5$$ и $$5$$.