Упр.627 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: На эстрадный концерт в клубе было продано на 20 000 р. билетов по одной стоимости и на 12 000 р. билетов стоимостью на 50 р. больше. Каковы цены билетов, если на концерте было 280 человек? Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

Пусть билеты по первой цене стоили $$x$$ руб., тогда билеты по второй цене — $$x+50$$ руб.

По условию продано билетов на сумму $$20000$$ руб. и $$12000$$ руб., а всего было $$280$$ человек. Составим уравнение:

$$\frac{20000}{x}+\frac{12000}{x+50}=280$$

Умножим обе части на $$x(x+50)$$:

$$20000(x+50)+12000x=280x(x+50)$$

$$20000x+1000000+12000x=280x^2+14000x$$

$$280x^2-18000x-1000000=0$$

Разделим на $$-40$$:

$$7x^2-450x-25000=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-450)^2-4\cdot 7\cdot(-25000)=202500+700000=902500$$

$$\sqrt{D}=950$$

Тогда

$$x=\frac{450\pm 950}{14}$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1400}{14}=100,\qquad x_2=\frac{-500}{14}<0$$

Отрицательный корень не подходит, значит первая цена билета равна $$100$$ руб., а вторая:

$$100+50=150$$ руб.

Теперь решим вторую задачу. Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе равно $$10-x$$.

Сумма кубов:

$$x^3+(10-x)^3$$

Раскроем скобки:

$$x^3+1000-300x+30x^2-x^3=30x^2-300x+1000$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$x_0=\frac{300}{2\cdot 30}=5$$

Тогда второе число:

$$10-5=5$$

Следовательно, искомые числа — $$5$$ и $$5$$.

Ответ

1) $$100$$ руб. и $$150$$ руб.; 2) $$5$$ и $$5$$.