Упр.624 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) y=x^2-7x+10;
2) y=-x^2+x+2;
3) y=-x^2+6x-9;
4) y=x^2+4x+5.

Пусть первая бригада может выполнить весь ремонт за $$x$$ ч, а вторая — за $$y$$ ч. Тогда их совместная производительность равна

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}.$$

Если сначала одна бригада сделает половину работы, а затем другая — вторую половину, то получим

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=9,$$

то есть

$$x+y=18.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{4}.$$

Подставим $$x+y=18$$:

$$\frac{18}{xy}=\frac{1}{4}, \qquad xy=72.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=18,\\ xy=72. \end{cases} $$

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-18t+72=0.$$

$$ t^2-18t+72=(t-6)(t-12)=0, $$

откуда $$t=6$$ или $$t=12$$.

Значит, одна бригада выполняет работу за 6 ч, другая — за 12 ч.

Для функций квадратичного вида используем вершину параболы и нули функции.

1. $$y=x^2-7x+10$$

   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$

   Тогда $$y>0$$ при $$x<2$$ и $$x>5$$, а $$y<0$$ при $$2<x<5$$.

   Вершина параболы:

   $$x_0=\frac{7}{2}=3{,}5,$$

   $$y_0=3{,}5^2-7\cdot 3{,}5+10=-2{,}25.$$

   Функция убывает при $$x\le 3{,}5$$ и возрастает при $$x\ge 3{,}5$$.

2. $$y=-x^2+x+2$$

   $$-x^2+x+2=-(x-2)(x+1).$$

   Следовательно, $$y>0$$ при $$-1<x<2$$, а $$y<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>2$$.

   Вершина параболы:

   $$x_0=\frac{-1}{2}=-0{,}5,$$

   $$y_0=-(-0{,}5)^2+(-0{,}5)+2=2{,}25.$$

   Функция возрастает при $$x\le -0{,}5$$ и убывает при $$x\ge -0{,}5$$.

3. $$y=-x^2+6x-9$$

   $$-x^2+6x-9=-(x-3)^2.$$

   Значит, $$y\le 0$$ при всех $$x$$, а $$y>0$$ нет таких $$x$$.

   Вершина параболы:

   $$x_0=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3,$$

   $$y_0=-3^2+6\cdot 3-9=0.$$

   Функция возрастает при $$x\le 3$$ и убывает при $$x\ge 3$$.

4. $$y=x^2+4x+5$$

   $$x^2+4x+5=(x+2)^2+1.$$

   Следовательно, $$y>0$$ при всех $$x$$, а $$y<0$$ нет таких $$x$$.

   Вершина параболы:

   $$x_0=\frac{-4}{2}=-2,$$

   $$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+5=1.$$

   Функция убывает при $$x\le -2$$ и возрастает при $$x\ge -2$$.

Ответ

Первая бригада — за 6 ч, вторая — за 12 ч.

1) $$y=x^2-7x+10$$: $$y>0$$ при $$x<2$$ и $$x>5$$; $$y<0$$ при $$2<x<5$$; убывает при $$x\le 3{,}5$$, возрастает при $$x\ge 3{,}5$$; минимум $$-2{,}25$$ при $$x=3{,}5$$.

2) $$y=-x^2+x+2$$: $$y>0$$ при $$-1<x<2$$; $$y<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>2$$; возрастает при $$x\le -0{,}5$$, убывает при $$x\ge -0{,}5$$; максимум $$2{,}25$$ при $$x=-0{,}5$$.

3) $$y=-x^2+6x-9$$: $$y>0$$ нет; $$y<0$$ при $$x\ne 3$$; возрастает при $$x\le 3$$, убывает при $$x\ge 3$$; максимум $$0$$ при $$x=3$$.

4) $$y=x^2+4x+5$$: $$y>0$$ при всех $$x$$; $$y<0$$ нет; убывает при $$x\le -2$$, возрастает при $$x\ge -2$$; минимум $$1$$ при $$x=-2$$.