Упр.623 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села A и направились разными городами в село B. Первый должен был проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения первого туриста была на 3 км/ч больше скорость второго. Однако второй турист прибыл в B на 20 мин раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист? По данному графику квадратичной функции (рис.59) выяснить ее свойства. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 kolyagin8 623 827

Пусть скорость первого туриста равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго туриста равна $$x-3$$ км/ч. Время в пути первого туриста:

$$\frac{30}{x}$$

Время в пути второго туриста:

$$\frac{20}{x-3}$$

По условию второй турист приехал на $$20$$ мин раньше, то есть на $$\frac{1}{3}$$ ч раньше. Составим уравнение:

$$\frac{30}{x}-\frac{20}{x-3}=\frac{1}{3}$$

Умножим обе части на $$3x(x-3)$$:

$$90(x-3)-60x=x(x-3)$$

$$90x-270-60x=x^2-3x$$

$$x^2-33x+270=0$$

Найдём корни:

$$D=33^2-4\cdot270=1089-1080=9$$

$$x_{1,2}=\frac{33\pm3}{2}$$

$$x_1=15,\quad x_2=18$$

Если $$x=15$$, то скорость второго туриста $$12$$ км/ч. Тогда:

$$\frac{30}{15}=2\text{ ч},\qquad \frac{20}{12}=\frac{5}{3}\text{ ч}=1\text{ ч }40\text{ мин}$$

Если $$x=18$$, то скорость второго туриста $$15$$ км/ч. Тогда:

$$\frac{30}{18}=\frac{5}{3}\text{ ч}=1\text{ ч }40\text{ мин},\qquad \frac{20}{15}=\frac{4}{3}\text{ ч}=1\text{ ч }20\text{ мин}$$

Ответ: $$2$$ ч и $$1$$ ч $$40$$ мин; или $$1$$ ч $$40$$ мин и $$1$$ ч $$20$$ мин.

Ход решения

1. Для графика квадратичной функции находим вершину, нули функции, промежутки знакопостоянства и монотонности.
2. По графику видно, что вершина параболы имеет координаты $$\left(2{,}5;\,-4\right)$$, значит наименьшее значение функции равно $$-4$$.
3. График пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x=0$$ и $$x=5$$, поэтому $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$x>5$$, а $$y<0$$ при $$0<x<5$$.
4. Функция убывает при $$x\le 2{,}5$$ и возрастает при $$x\ge 2{,}5$$.
5. Ось симметрии параболы: $$x=2{,}5$$.

Ответ: $$y\ge -4$$; $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$x>5$$, $$y<0$$ при $$0<x<5$$; убывает при $$x\le 2{,}5$$, возрастает при $$x\ge 2{,}5$$; наименьшее значение $$-4$$; ось симметрии $$x=2{,}5$$.

Ход решения

1. Для второй параболы вершина находится в точке $$\left(-1;\,5\right)$$, значит наибольшее значение функции равно $$5$$.
2. График пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x=-3$$ и $$x=1$$, поэтому $$y>0$$ при $$-3<x<1$$, а $$y<0$$ при $$x<-3$$ и $$x>1$$.
3. Функция возрастает при $$x\le -1$$ и убывает при $$x\ge -1$$.
4. Ось симметрии параболы: $$x=-1$$.

Ответ: $$y\le 5$$; $$y>0$$ при $$-3<x<1$$, $$y<0$$ при $$x<-3$$ и $$x>1$$; возрастает при $$x\le -1$$, убывает при $$x\ge -1$$; наибольшее значение $$5$$; ось симметрии $$x=-1$$.