Упр.620 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}$$;
   2) $$\frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}$$.
2. Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс в точках $$x=-1$$ и $$x=3$$, а ось ординат в точке $$y=2$$.

1) Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители:

$$\frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}, \qquad x\ne 1,\; x\ne -3.$$

Так как $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ получаем

$$\frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}-\frac{3x-2}{x-1}+\frac{2x+3}{x+3}=0.$$

Умножим на $$(x+3)(x-1)$$:

$$12x+4-(3x-2)(x+3)+(2x+3)(x-1)=0.$$

Раскроем скобки:

$$12x+4-(3x^2+7x-6)+(2x^2+x-3)=0,$$

$$-x^2+6x+7=0.$$

Умножим на $$-1$$:

$$x^2-6x-7=0.$$

$$(x-7)(x+1)=0,$$

$$x=7 \text{ или } x=-1.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

2) Решим уравнение:

$$\frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}.$$

Разложим знаменатели:

$$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1),$$

$$x^2-3x+2=(x-2)(x-1),\quad x^2+3x+2=(x+2)(x+1).$$

ОДЗ: $$x\ne -2,\,-1,\,1,\,2.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на общий знаменатель $$(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$$:

$$5(x^2-1)-8(x^2-4)-2(x+2)(x+1)+20(x-2)(x-1)=0.$$

Раскроем скобки:

$$5x^2-5-8x^2+32-2(x^2+3x+2)+20(x^2-3x+2)=0,$$

$$15x^2-66x+63=0.$$

Разделим на $$3$$:

$$5x^2-22x+21=0.$$

$$D=22^2-4\cdot 5\cdot 21=484-420=64,$$

$$x=\frac{22\pm 8}{10}.$$

$$x_1=\frac{14}{10}=\frac{7}{5},\qquad x_2=\frac{30}{10}=3.$$

Оба корня подходят по ОДЗ.

3) Пусть уравнение параболы имеет вид $$y=ax^2+bx+c$$. Так как она пересекает ось ординат в точке $$(0;2)$$, то

$$c=2.$$

Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0)$$ и $$(3;0)$$, значит

$$y=a(x+1)(x-3).$$

Подставим точку $$(0;2)$$:

$$2=a\cdot 1\cdot (-3),$$

$$a=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3).$$

Раскроем скобки:

$$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2.$$

Ответ

1) $$x=-1,\; 7$$;

2) $$x=\frac{7}{5},\; 3$$;

3) $$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$$.