Упр.620 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (12x+4)/(x^2+2x-3)=(3x-2)/(x-1)-(2x+3)/(x+3);
2) 5/(x^2-4)-8/(x^2-1)=2/(x^2-3x+2)-20/(x^2+3x+2).
Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс в точках x=-1 и x=3, а ось ординат в точке y=2.

1) Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители:

$$ \frac{12x+4}{x^2+2x-3}=\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}, \qquad x\ne 1,\; x\ne -3. $$

Так как $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ получаем

$$ \frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}-\frac{3x-2}{x-1}+\frac{2x+3}{x+3}=0. $$

Умножим на $$ (x+3)(x-1) $$:

$$ 12x+4-(3x-2)(x+3)+(2x+3)(x-1)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 12x+4-(3x^2+7x-6)+(2x^2+x-3)=0, $$

$$ -x^2+6x+7=0. $$

Умножим на $$-1$$:

$$ x^2-6x-7=0. $$

$$ (x-7)(x+1)=0, $$

$$ x=7 \text{ или } x=-1. $$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

2) Решим уравнение:

$$ \frac{5}{x^2-4}-\frac{8}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-3x+2}-\frac{20}{x^2+3x+2}. $$

Разложим знаменатели:

$$ x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1), $$

$$ x^2-3x+2=(x-2)(x-1),\quad x^2+3x+2=(x+2)(x+1). $$

ОДЗ: $$x\ne -2,\,-1,\,1,\,2.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на общий знаменатель $$ (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) $$:

$$ 5(x^2-1)-8(x^2-4)-2(x+2)(x+1)+20(x-2)(x-1)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 5x^2-5-8x^2+32-2(x^2+3x+2)+20(x^2-3x+2)=0, $$

$$ 15x^2-66x+63=0. $$

Разделим на $$3$$:

$$ 5x^2-22x+21=0. $$

$$ D=22^2-4\cdot 5\cdot 21=484-420=64, $$

$$ x=\frac{22\pm 8}{10}. $$

$$ x_1=\frac{14}{10}=\frac{7}{5},\qquad x_2=\frac{30}{10}=3. $$

Оба корня подходят по ОДЗ.

3) Пусть уравнение параболы имеет вид $$y=ax^2+bx+c$$. Так как она пересекает ось ординат в точке $$ (0;2) $$, то

$$ c=2. $$

Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0)$$ и $$ (3;0) $$, значит

$$ y=a(x+1)(x-3). $$

Подставим точку $$ (0;2) $$:

$$ 2=a\cdot 1\cdot (-3), $$

$$ a=-\frac{2}{3}. $$

Тогда

$$ y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3). $$

Раскроем скобки:

$$ y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2. $$

Ответ

1) $$x=-1,\; 7$$;

2) $$x=\frac{7}{5},\; 3$$;

3) $$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$$.