Упр.62 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^2-b^2)/(3a+3b) · (3a^2)/(5b-5a) при a=2,5;
2) (a^2-25)/(a^2-3a) : (a+5)/(9-a^2 ) при a=1;
3) (5x^2-5y^2)/(x^2+y^2 ) · (3x^2+3y^2)/(10y-10x) при x=5/6; y=2/3;
4) (3n^2-3m^2)/(n^2+np) : (6m-6n)/(n+p) при m=-9; n=-3.
Доказать, что если a>2 и b>5, то:
1) 3a+2b>16;
2) a^3+b^3>133;
3) ab-1>9;
4) (a+b)^2>35;
5) a^2+b^2>29;
6) (a+b)^3>340.

Подробный ответ

$$\frac{a^2-b^2}{3a+3b}\cdot\frac{3a^2}{5b-5a} =\frac{(a-b)(a+b)}{3(a+b)}\cdot\frac{3a^2}{5(b-a)}$$
$$=\frac{a-b}{3}\cdot\frac{3a^2}{5(b-a)} =\frac{a-b}{b-a}\cdot\frac{a^2}{5} =-\frac{a^2}{5}.$$
При $$a=2{,}5$$ получаем:
$$-\frac{a^2}{5}=-\frac{2{,}5^2}{5}=-\frac{6{,}25}{5}=-1{,}25.$$
$$\frac{a^2-25}{a^2-3a}:\frac{a+5}{9-a^2} =\frac{(a-5)(a+5)}{a(a-3)}\cdot\frac{(3-a)(3+a)}{a+5}$$
$$=\frac{(a-5)(3+a)}{-a}.$$
При $$a=1$$:
$$\frac{(1-5)(3+1)}{-1}=\frac{-4\cdot 4}{-1}=16.$$
$$\frac{5x^2-5y^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{3x^2+3y^2}{10y-10x} =\frac{5(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot\frac{3(x^2+y^2)}{10(y-x)}$$
$$=\frac{3(x+y)}{-2}.$$
При $$x=\frac56,\ y=\frac23$$:
$$\frac{3(x+y)}{-2}=\frac{3\left(\frac56+\frac23\right)}{-2} =\frac{3\cdot\frac{9}{6}}{-2} =\frac{9}{2}\cdot\left(-\frac12\right) =-\frac94=-2\frac14.$$
$$\frac{3n^2-3m^2}{n^2+np}:\frac{6m-6n}{n+p} =\frac{3(n-m)(n+m)}{n(n+p)}:\frac{6(m-n)}{n+p}$$
$$=\frac{3(n-m)(n+m)}{n(n+p)}\cdot\frac{n+p}{6(m-n)} =-\frac{n+m}{2n}.$$
При $$m=-9,\ n=-3$$:
$$-\frac{n+m}{2n}=-\frac{-3+(-9)}{2\cdot(-3)} =-\frac{-12}{-6}=-2.$$

Ход решения

Так как $$a>2$$ и $$b>5$$, то
$$3a>6,\qquad 2b>10.$$
Складываем:
$$3a+2b>16.$$
Из $$a>2$$ и $$b>5$$ следует:
$$ab>2\cdot 5=10.$$
Тогда
$$ab-1>10-1=9.$$
Из $$a>2$$ и $$b>5$$ получаем:
$$a^2>4,\qquad b^2>25.$$
Складываем:
$$a^2+b^2>29.$$
Так как $$a>2$$ и $$b>5$$, то
$$a^3>8,\qquad b^3>125.$$
Следовательно,
$$a^3+b^3>133.$$
Из $$a>2$$ и $$b>5$$ имеем:
$$a+b>7.$$
Тогда
$$ (a+b)^2>7^2=49.$$
Так как $$49>35$$, то
$$ (a+b)^2>35.$$
Из $$a+b>7$$ следует:
$$ (a+b)^3>7^3=343.$$
Так как $$343>340$$, то
$$ (a+b)^3>340.$$