Упр.614 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2x(x-2)=(x+1)^2-9;
2) 5x(x-4)=(x-8)^2-65;
3) (x+2)^2/3-(x+1)^2/2=1;
4) (x-1)^2/4-(x-2)^2/5=4.
Написать уравнение параболы, если известно, что парабола проходит через точку (-1;6), а ее вершиной является точка (1;2).

1. $$2x(x-2)=(x+1)^2-9$$

   $$2x^2-4x=x^2+2x+1-9$$

   $$2x^2-4x=x^2+2x-8$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0$$

   $$x=2 \text{ или } x=4$$

2. $$5x(x-4)=(x-8)^2-65$$

   $$5x^2-20x=x^2-16x+64-65$$

   $$5x^2-20x=x^2-16x-1$$

   $$4x^2-4x+1=0$$

   $$\left(2x-1\right)^2=0$$

   $$2x-1=0$$

   $$x=\frac{1}{2}$$

3. $$\frac{(x+2)^2}{3}-\frac{(x+1)^2}{2}=1$$

   Умножим на $$6$$:

   $$2(x+2)^2-3(x+1)^2=6$$

   $$2(x^2+4x+4)-3(x^2+2x+1)=6$$

   $$2x^2+8x+8-3x^2-6x-3=6$$

   $$-x^2+2x+5=6$$

   $$x^2-2x+1=0$$

   $$\left(x-1\right)^2=0$$

   $$x=1$$

4. $$\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-2)^2}{5}=4$$

   Умножим на $$20$$:

   $$5(x-1)^2-4(x-2)^2=80$$

   $$5(x^2-2x+1)-4(x^2-4x+4)=80$$

   $$5x^2-10x+5-4x^2+16x-16=80$$

   $$x^2+6x-11=80$$

   $$x^2+6x-91=0$$

   $$x^2+6x-91=(x+13)(x-7)=0$$

   $$x=-13 \text{ или } x=7$$

5. Так как вершина параболы — точка $$\left(1;2\right)$$, то уравнение имеет вид

   $$y=a(x-1)^2+2.$$

   Парабола проходит через точку $$\left(-1;6\right)$$, значит:

   $$6=a(-1-1)^2+2$$

   $$6=4a+2$$

   $$4a=4$$

   $$a=1$$

   Следовательно,

   $$y=(x-1)^2+2$$

   или

   $$y=x^2-2x+3.$$

Ответ

1) $$x=2,\;4$$; 2) $$x=\frac{1}{2}$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=-13,\;7$$; $$y=(x-1)^2+2$$.