Упр.612 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x+y=1
xy=-6)+
2) {(x+3y=10
xy=3)+
3) {(x-2y=-7
xy=-6)+
4) {(x+y=-7
xy=12)+
5) {(x^2-y^2=200
x+y=20)+
6) {(x^2-y^2=9
x-y=1)+
7) {(x^2+y^2=41
y-x=1)+
8) {(x-y=3
x^2+y^2=5)+
Проходит ли ось симметрии параболы y=x^2 -10x через точку:
1) (5;10); 2) (3;-8); 3) (5;0); 4) (-5;1)?

1. $$\begin{cases} x+y=1,\\ xy=-6 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-t-6=0.$$
   Тогда
   $$t=-2 \text{ или } t=3.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} x=-2,\\ y=3 \end{cases}$$

2. $$\begin{cases} x+3y=10,\\ xy=3 \end{cases}$$
   Выразим $$x$$:
   $$x=10-3y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$y(10-3y)=3,$$
   $$10y-3y^2-3=0,$$
   $$3y^2-10y+3=0.$$
   $$D=100-36=64,$$
   $$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad y_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} y=\frac13,\\ x=10-3\cdot\frac13=9 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} y=3,\\ x=10-9=1 \end{cases}$$

3. $$\begin{cases} x-2y=-7,\\ xy=-6 \end{cases}$$
   Выразим $$x$$:
   $$x=2y-7.$$
   Подставим:
   $$y(2y-7)=-6,$$
   $$2y^2-7y+6=0.$$
   $$D=49-48=1,$$
   $$y_1=\frac{7-1}{4}=\frac32,\quad y_2=\frac{7+1}{4}=2.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} y=\frac32,\\ x=2\cdot\frac32-7=-4 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} y=2,\\ x=4-7=-3 \end{cases}$$

4. $$\begin{cases} x+y=-7,\\ xy=12 \end{cases}$$
   По теореме, обратной теореме Виета, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2+7t+12=0.$$
   Тогда
   $$t=-3 \text{ или } t=-4.$$
   Следовательно,
   $$\begin{cases} x=-3,\\ y=-4 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} x=-4,\\ y=-3 \end{cases}$$

5. $$\begin{cases} x^2-y^2=200,\\ x+y=20 \end{cases}$$
   Используем формулу разности квадратов:
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
   Тогда
   $$(x-y)(x+y)=200.$$
   Так как $$x+y=20,$$ получаем
   $$x-y=\frac{200}{20}=10.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x-y=10,\\ x+y=20 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2x=30,\quad x=15,$$
   $$y=20-15=5.$$

6. $$\begin{cases} x^2-y^2=9,\\ x-y=1 \end{cases}$$
   Тогда
   $$(x-y)(x+y)=9.$$
   Так как $$x-y=1,$$ имеем
   $$x+y=9.$$
   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x-y=1,\\ x+y=9 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$2x=10,\quad x=5,$$
   $$y=4.$$

7. $$\begin{cases} x^2+y^2=41,\\ y-x=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=y-1.$$
   Подставим в первое:
   $$(y-1)^2+y^2=41,$$
   $$y^2-2y+1+y^2-41=0,$$
   $$2y^2-2y-40=0,$$
   $$y^2-y-20=0.$$
   $$D=1+80=81,$$
   $$y_1=\frac{1+9}{2}=5,\quad y_2=\frac{1-9}{2}=-4.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} y=5,\\ x=4 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} y=-4,\\ x=-5 \end{cases}$$

8. $$\begin{cases} x-y=3,\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
   Выразим $$x$$:
   $$x=y+3.$$
   Подставим:
   $$(y+3)^2+y^2=5,$$
   $$y^2+6y+9+y^2-5=0,$$
   $$2y^2+6y+4=0,$$
   $$y^2+3y+2=0.$$
   Тогда
   $$(y+1)(y+2)=0,$$
   $$y=-1 \text{ или } y=-2.$$
   Если $$y=-1,$$ то $$x=2.$$ Если $$y=-2,$$ то $$x=1.$$

Для параболы $$y=x^2-10x$$ абсцисса вершины:
$$x_0=\frac{10}{2}=5.$$
Значит, ось симметрии — прямая $$x=5$$. Она проходит через точки с абсциссой $$5$$, то есть через $$ (5;10) $$ и $$ (5;0) $$, но не проходит через $$ (3;-8) $$ и $$ (-5;1) $$.

Ответ

1) $$(3;-2),\;(-2;3)$$
2) $$(9;\tfrac13),\;(1;3)$$
3) $$(-4;\tfrac32),\;(-3;2)$$
4) $$(-3;-4),\;(-4;-3)$$
5) $$(15;5)$$
6) $$(5;4)$$
7) $$(4;5),\;(-5;-4)$$
8) $$(1;-2),\;(2;-1)$$
Ось симметрии проходит через точки $$(5;10)$$ и $$(5;0)$$, не проходит через точки $$(3;-8)$$ и $$(-5;1)$$.