Упр.611 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Разность двух натуральных чисел относится к их произведению как $$1:24$$, а сумма этих чисел относится к их разности как $$5:1$$. Найти эти числа.
2. Найти на оси $$Ox$$ точку, через которую проходит ось симметрии параболы: 1) $$y=x^2+3$$; 2) $$y=(x+2)^2$$; 3) $$y=-3(x+2)^2+2$$; 4) $$y=(x-2)^2+2$$; 5) $$y=x^2+x+1$$; 6) $$y=2x^2-3x+5$$.

Пусть данные числа — $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию:

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{24}, \qquad \frac{x+y}{x-y}=5.$$

Из второго уравнения получаем:

$$x+y=5(x-y)$$
$$x+y=5x-5y$$
$$4x-6y=0$$
$$2x-3y=0.$$

Из первого уравнения:

$$24(x-y)=xy$$
$$24x-24y=xy.$$

Выразим из уравнения $$2x-3y=0$$:

$$2x=3y \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3y}{2}.$$

Подставим в уравнение $$24x-24y=xy$$:

$$24\cdot \frac{3y}{2}-24y=\frac{3y}{2}\cdot y$$
$$36y-24y=\frac{3y^2}{2}$$
$$12y=\frac{3y^2}{2}$$
$$24y=3y^2$$
$$3y(y-8)=0.$$

Так как числа натуральные, то $$y=8$$. Тогда

$$x=\frac{3\cdot 8}{2}=12.$$

Теперь найдём абсциссу вершины параболы, то есть точку пересечения оси симметрии с осью $$Ox$$.

1) $$y=x^2+3$$, значит $$x_0=0$$.

2) $$y=(x+2)^2$$, значит $$x_0=-2$$.

3) $$y=-3(x+2)^2+2$$, значит $$x_0=-2$$.

4) $$y=(x-2)^2+2$$, значит $$x_0=2$$.

5) $$y=x^2+x+1$$, тогда
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}.$$

6) $$y=2x^2-3x+5$$, тогда
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}.$$

Ответ

1) $$12$$ и $$8$$; 2) $$0$$; 3) $$-2$$; 4) $$2$$; 5) $$-\frac{1}{2}$$; 6) $$\frac{3}{4}$$.