Упр.610 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2024 года. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?
- Задание учебника 2013 года. Найдите координаты вершины параболы. (Устно.)
- $$y=x^2+2$$;
- $$y=-x^2-5$$;
- $$y=3x^2-2x$$;
- $$y=-4x^2+x$$.
Пусть первая бригада работала $$x$$ дней, а вторая — $$x+2$$ дня. Пусть вторая бригада высаживала в день $$y$$ деревьев, тогда первая — $$y+40$$ деревьев.
Составим систему:
$$\begin{cases} x(y+40)=270,\\ (x+2)y=250. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$xy+40x=270.$$
Из второго уравнения:
$$xy+2y=250.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$40x-2y=20,$$
$$20x-y=10,$$
$$y=20x-10.$$
Подставим в уравнение $$(x+2)y=250$$:
$$(x+2)(20x-10)=250$$
$$20x^2+30x-270=0$$
$$2x^2+3x-27=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-27)=9+216=225,$$
$$\sqrt{D}=15.$$
$$x=\frac{-3\pm 15}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{-18}{4}=-\frac{9}{2} \quad \text{(не подходит)},$$
$$x_2=\frac{12}{4}=3.$$
Значит, первая бригада работала $$3$$ дня, а вторая — $$3+2=5$$ дней.
Теперь найдём вершины парабол.
$$y=x^2+2$$
$$x_0=0,\quad y_0=2.$$
Вершина: $$(0;2)$$.
$$y=-x^2-5$$
$$x_0=0,\quad y_0=-5.$$
Вершина: $$(0;-5)$$.
$$y=3x^2-2x$$
$$x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot 3}=\frac{1}{3},$$
$$y_0=3\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{3}-\frac{2}{3} =-\frac{1}{3}.$$
Вершина: $$\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$$.
$$y=-4x^2+x$$
$$x_0=\frac{-1}{2\cdot(-4)}=\frac{1}{8},$$
$$y_0=-4\left(\frac{1}{8}\right)^2+\frac{1}{8} =-4\cdot\frac{1}{64}+\frac{1}{8} =-\frac{1}{16}+\frac{2}{16} =\frac{1}{16}.$$
Вершина: $$\left(\frac{1}{8};\frac{1}{16}\right)$$.
Ответ
Первая бригада — $$3$$ дня, вторая — $$5$$ дней; вершины парабол: $$(0;2),\ (0;-5),\ \left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right),\ \left(\frac{1}{8};\frac{1}{16}\right).$$
