Упр.609 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

• Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 ч?
• Найдите координаты вершины параболы. (Устно.) 1) $$y=x^2+4x+1$$; 2) $$y=x^2-6x-7$$; 3) $$y=2x^2-6x+11$$; 4) $$y=-3x^2+18x-7$$.

Пусть скорость велосипедиста на второй половине пути равна $$x$$ км/ч, тогда на первой половине пути она была $$x+3$$ км/ч.

Весь путь равен $$90$$ км, значит каждая половина пути составляет $$45$$ км. По условию весь путь он проехал за $$5{,}5$$ ч, поэтому составим уравнение:

$$\frac{45}{x}+\frac{45}{x+3}=5{,}5$$

Умножим обе части на $$2x(x+3)$$:

$$90(x+3)+90x=11x(x+3)$$

$$90x+270+90x=11x^2+33x$$

$$11x^2-147x-270=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-147)^2-4\cdot 11\cdot(-270)=21609+11880=33489$$

$$\sqrt{33489}=183$$

Тогда

$$x=\frac{147\pm 183}{22}$$

$$x_1=\frac{147-183}{22}=-\frac{36}{22}<0$$

Это значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

$$x_2=\frac{147+183}{22}=\frac{330}{22}=15$$

Значит, скорость велосипедиста на второй половине пути равна $$15$$ км/ч.

Найдём координаты вершины параболы.

1. $$y=x^2+4x+1$$

   $$x_0=-\frac{4}{2}=-2$$

   $$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+1=4-8+1=-3$$

   Вершина: $$(-2;\,-3)$$.

2. $$y=x^2-6x-7$$

   $$x_0=\frac{6}{2}=3$$

   $$y_0=3^2-6\cdot 3-7=9-18-7=-16$$

   Вершина: $$\left(3;\,-16\right)$$.

3. $$y=2x^2-6x+11$$

   $$x_0=\frac{6}{2\cdot 2}=\frac{3}{2}$$

   $$y_0=2\left(\frac{3}{2}\right)^2-6\cdot\frac{3}{2}+11=2\cdot\frac{9}{4}-9+11=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}$$

   Вершина: $$\left(\frac{3}{2};\,\frac{13}{2}\right)$$.

4. $$y=-3x^2+18x-7$$

   $$x_0=-\frac{18}{2\cdot(-3)}=3$$

   $$y_0=-3\cdot 3^2+18\cdot 3-7=-27+54-7=20$$

   Вершина: $$\left(3;\,20\right)$$.

Ответ

$$15$$ км/ч; $$(-2;\,-3)$$, $$\left(3;\,-16\right)$$, $$\left(\frac{3}{2};\,\frac{13}{2}\right)$$, $$\left(3;\,20\right)$$.