Упр.609 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

(Устно.)
1) y=x^2+4x+1;
2) y=x^2-6x-7;
3) y=2x^2-6x+11;
4) y=-3x^2+18x-7.

Подробный ответ

Пусть скорость велосипедиста на второй половине пути равна $$x$$ км/ч, тогда на первой половине пути она была $$x+3$$ км/ч.

Весь путь равен $$90$$ км, значит каждая половина пути составляет $$45$$ км. По условию весь путь он проехал за $$5{,}5$$ ч, поэтому составим уравнение:

$$\frac{45}{x}+\frac{45}{x+3}=5{,}5$$

Умножим обе части на $$2x(x+3)$$:

$$90(x+3)+90x=11x(x+3)$$

$$90x+270+90x=11x^2+33x$$

$$11x^2-147x-270=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-147)^2-4\cdot 11\cdot(-270)=21609+11880=33489$$

$$\sqrt{33489}=183$$

Тогда

$$x=\frac{147\pm 183}{22}$$

$$x_1=\frac{147-183}{22}=-\frac{36}{22}<0$$

Это значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

$$x_2=\frac{147+183}{22}=\frac{330}{22}=15$$

Значит, скорость велосипедиста на второй половине пути равна $$15$$ км/ч.

Найдём координаты вершины параболы.

$$y=x^2+4x+1$$
$$x_0=-\frac{4}{2}=-2$$
$$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+1=4-8+1=-3$$
Вершина: $$(-2;\,-3)$$.
$$y=x^2-6x-7$$
$$x_0=\frac{6}{2}=3$$
$$y_0=3^2-6\cdot 3-7=9-18-7=-16$$
Вершина: $$\left(3;\,-16\right)$$.
$$y=2x^2-6x+11$$
$$x_0=\frac{6}{2\cdot 2}=\frac{3}{2}$$
$$y_0=2\left(\frac{3}{2}\right)^2-6\cdot\frac{3}{2}+11=2\cdot\frac{9}{4}-9+11=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}$$
Вершина: $$\left(\frac{3}{2};\,\frac{13}{2}\right)$$.
$$y=-3x^2+18x-7$$
$$x_0=-\frac{18}{2\cdot(-3)}=3$$
$$y_0=-3\cdot 3^2+18\cdot 3-7=-27+54-7=20$$
Вершина: $$\left(3;\,20\right)$$.