Упр.607 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Площадь прямоугольника равна 675 см^2. Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 30 см меньше другой. Пусть парабола y=ax^2 и прямая y=kx+b имеют только одну общую точку и абсцисса этой точки равна x_0. Доказать, что эта прямая проходит через точку (x_0 /2; 0).

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$ см, причём $$x>y$$.

Тогда по условию:

$$ \begin{cases} xy=675,\\ x-y=30. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $$x=y+30$$. Подставим в первое:

$$ (y+30)y=675 $$

$$ y^2+30y-675=0. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=30^2-4\cdot 1\cdot(-675)=900+2700=3600. $$

$$ \sqrt{D}=60. $$

Тогда

$$ y=\frac{-30\pm 60}{2}. $$

Получаем:

$$ y_1=\frac{-30-60}{2}=-45 \quad \text{(не подходит)}, $$

$$ y_2=\frac{-30+60}{2}=15. $$

Значит, одна сторона равна $$15$$ см, а другая:

$$ x=15+30=45. $$

Теперь докажем утверждение о прямой и параболе.

Пусть парабола $$y=ax^2$$ и прямая $$y=kx+b$$ имеют только одну общую точку с абсциссой $$x_0$$. Тогда уравнение их пересечения имеет вид:

$$ ax^2=kx+b, $$

то есть

$$ ax^2-kx-b=0. $$

Так как общая точка одна, это квадратное уравнение имеет единственный корень, значит, его дискриминант равен нулю:

$$ D=k^2+4ab=0. $$

Тогда

$$ x_0=\frac{k}{2a}. $$

Проверим значение $$y$$ при $$x=\frac{x_0}{2}=\frac{k}{4a}$$:

$$ y=k\cdot \frac{k}{4a}+b=\frac{k^2}{4a}+b. $$

Из условия $$k^2+4ab=0$$ имеем $$b=-\frac{k^2}{4a}$$, поэтому

$$ y=\frac{k^2}{4a}-\frac{k^2}{4a}=0. $$

Следовательно, прямая проходит через точку $$\left(\frac{x_0}{2};\,0\right)$$.

Ответ

1) $$15$$ см и $$45$$ см.

2) Прямая проходит через точку $$\left(\frac{x_0}{2};\,0\right)$$.