Упр.605 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Выяснить, является ли функция y=-2x:2 возрастающей или убывающей:
1) на отрезке [-4;-2];
2) на интервале (3;5);
3) на полуинтервале [-5;0);
4) на полуинтервале (-3; -2].

Подробный ответ

Пусть данные числа — $$x$$ и $$y$$. Тогда составим систему:

$$ \begin{cases} x-y=1,\\ x^2+y^2=3\dfrac{2}{9}. \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $$x=y+1$$. Подставим во второе:

$$ (y+1)^2+y^2=3\dfrac{2}{9}=\dfrac{29}{9}. $$

$$ y^2+2y+1+y^2=\dfrac{29}{9} $$

$$ 2y^2+2y+1-\dfrac{29}{9}=0 $$

$$ 2y^2+2y-\dfrac{20}{9}=0 $$

Умножим на $$9$$:

$$ 18y^2+18y-20=0 $$

$$ 9y^2+9y-10=0 $$

Найдём корни:

$$ D=9^2-4\cdot 9\cdot(-10)=81+360=441, $$

$$ \sqrt{D}=21. $$

$$ y=\frac{-9\pm 21}{18}. $$

Тогда

$$ y_1=\frac{-9-21}{18}=-\frac{30}{18}=-\frac{5}{3}, \qquad y_2=\frac{-9+21}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}. $$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$ x_1=y_1+1=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}, \qquad x_2=y_2+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}. $$

Значит, искомые числа: $$-\frac{2}{3}$$ и $$-\frac{5}{3}$$ или $$\frac{5}{3}$$ и $$\frac{2}{3}$$.

Теперь рассмотрим функцию $$y=-2x^2$$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому при увеличении $$x$$ значения функции сначала возрастают до вершины, а затем убывают.

1) На отрезке $$[-4;-2]$$ функция возрастает.

2) На интервале $$ (3;5) $$ функция убывает.

3) На полуинтервале $$[-5;0)$$ функция возрастает.

4) На полуинтервале $$(-3;-2]$$ функция возрастает.