Упр.605 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Найти два числа, разность которых равна $$1$$, а сумма их квадратов равна $$3\frac{2}{9}$$.
Выяснить, является ли функция $$y=-2x^2$$ возрастающей или убывающей:
1. на отрезке $$[-4;-2]$$;
2. на интервале $$(3;5)$$;
3. на полуинтервале $$[-5;0)$$;
4. на полуинтервале $$(-3;-2]$$.

Подробный ответ

Пусть данные числа — $$x$$ и $$y$$. Тогда составим систему:

$$\begin{cases} x-y=1,\\ x^2+y^2=3\dfrac{2}{9}. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$x=y+1$$. Подставим во второе:

$$(y+1)^2+y^2=3\dfrac{2}{9}=\dfrac{29}{9}.$$

$$y^2+2y+1+y^2=\dfrac{29}{9}$$

$$2y^2+2y+1-\dfrac{29}{9}=0$$

$$2y^2+2y-\dfrac{20}{9}=0$$

Умножим на $$9$$:

$$18y^2+18y-20=0$$

$$9y^2+9y-10=0$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 9\cdot(-10)=81+360=441,$$

$$\sqrt{D}=21.$$

$$y=\frac{-9\pm 21}{18}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{-9-21}{18}=-\frac{30}{18}=-\frac{5}{3}, \qquad y_2=\frac{-9+21}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$x_1=y_1+1=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}, \qquad x_2=y_2+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.$$

Значит, искомые числа: $$-\frac{2}{3}$$ и $$-\frac{5}{3}$$ или $$\frac{5}{3}$$ и $$\frac{2}{3}$$.

Теперь рассмотрим функцию $$y=-2x^2$$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому при увеличении $$x$$ значения функции сначала возрастают до вершины, а затем убывают.

1) На отрезке $$[-4;-2]$$ функция возрастает.

2) На интервале $$(3;5)$$ функция убывает.

3) На полуинтервале $$[-5;0)$$ функция возрастает.

4) На полуинтервале $$(-3;-2]$$ функция возрастает.