Упр.603 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Решить уравнение:
1) $$\frac{x}{x-2}+\frac{3}{x}=\frac{3}{x-2}$$;
2) $$\frac{x^2}{x^2+3x}+\frac{2+x}{x+3}=\frac{5-x}{x}$$;
3) $$\frac{y+3}{y^2-y}+\frac{6-y}{1-y^2}=\frac{y+5}{y+y^2}$$;
4) $$\frac{y+4}{y-4}-\frac{y}{4-y}=2-\frac{4}{y}$$. - Найти значение $$k$$, при котором парабола $$y=-5x^2$$ и прямая $$y=kx+6$$ пересекаются в точке с абсциссой $$x=2$$. Имеются ли другие точки пересечения графиков?
$$\frac{x}{x-2}+\frac{3}{x}=\frac{3}{x-2}, \qquad x\ne 0,\; x\ne 2.$$
Умножим обе части на $$x(x-2)$$:
$$x^2+3(x-2)=3x$$
$$x^2+3x-6=3x$$
$$x^2=6$$
$$x=\pm\sqrt{6}.$$
$$\frac{x^2}{x^2+3x}+\frac{x+2}{x+3}=\frac{5-x}{x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne -3.$$
Так как $$x^2+3x=x(x+3)$$, умножим обе части на $$x(x+3)$$:
$$x^2+x(x+2)=(5-x)(x+3)$$
$$x^2+2x+x^2=5x+15-x^2-3x$$
$$3x^2-6x-15=0$$
$$x^2-2x-5=0$$
$$x=1\pm\sqrt{6}.$$
$$\frac{y+3}{y^2-y}+\frac{6-y}{1-y^2}=\frac{y+5}{y+y^2}, \qquad y\ne 0,\; y\ne \pm 1.$$
Преобразуем знаменатели:
$$y^2-y=y(y-1), \qquad 1-y^2=(1-y)(1+y)=-(y-1)(y+1), \qquad y+y^2=y(y+1).$$
Умножим обе части на $$y(y-1)(y+1)$$:
$$(y+3)(y+1)-y(6-y)=(y+5)(y-1)$$
$$y^2+4y+3-6y+y^2=y^2+4y-5$$
$$y^2-6y+8=0$$
$$(y-2)(y-4)=0$$
$$y=2 \text{ или } y=4.$$
$$\frac{y+4}{y-4}-\frac{y}{4-y}=2-\frac{4}{y}, \qquad y\ne 0,\; y\ne 4.$$
Так как $$4-y=-(y-4)$$, то
$$\frac{y+4}{y-4}+\frac{y}{y-4}=2-\frac{4}{y}.$$
Умножим обе части на $$y(y-4)$$:
$$y(y+4)+y^2=2y(y-4)-4(y-4)$$
$$y^2+4y+y^2=2y^2-8y-4y+16$$
$$4y+4y=16$$
$$16y=16$$
$$y=1.$$
Парабола $$y=-5x^2$$ и прямая $$y=kx+6$$ пересекаются при $$x=2$$.
Подставим $$x=2$$ в обе формулы:
$$-5\cdot 2^2=2k+6$$
$$-20=2k+6$$
$$2k=-26$$
$$k=-13.$$
Значит, прямая имеет вид $$y=-13x+6$$.
Проверим, есть ли другие точки пересечения:
$$-5x^2=-13x+6$$
$$5x^2-13x+6=0$$
$$D=169-120=49$$
$$x=\frac{13\pm 7}{10}$$
$$x_1=\frac{3}{5}, \qquad x_2=2.$$
Найдём соответствующие ординаты:
$$y_1=-5\left(\frac{3}{5}\right)^2=-\frac{9}{5}, \qquad y_2=-5\cdot 2^2=-20.$$
Кроме точки с абсциссой $$x=2$$, есть ещё одна точка пересечения: $$\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right).$$
Ответ
1) $$x=\pm\sqrt{6}$$; 2) $$x=1\pm\sqrt{6}$$; 3) $$y=2,\;4$$; 4) $$y=1$$; $$k=-13$$, есть ещё одна точка пересечения $$\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)$$.
