Упр.601 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-9)/(x+3);
2) (x^3+4x^2+4x)/(x+2);
3) (16x^2-24x+9)/(4x^2+5x-6);
4) (25x^2+10x+1)/(5x^2-14x-3).
Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1) y=2x^2 и y=3x+2;
2) y=-1/2 x^2 и y=1/2 x-3.

Подробный ответ

$$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3,$$
$$x\ne -3.$$
$$\frac{x^3+4x^2+4x}{x+2}=\frac{x(x^2+4x+4)}{x+2}=\frac{x(x+2)^2}{x+2}=x(x+2)=x^2+2x,$$
$$x\ne -2.$$
$$\frac{16x^2-24x+9}{4x^2+5x-6}=\frac{(4x-3)^2}{(4x-3)(x+2)}=\frac{4x-3}{x+2},$$
$$4x^2+5x-6=(4x-3)(x+2),\quad x\ne \frac34,\,-2.$$
$$\frac{25x^2+10x+1}{5x^2-14x-3}=\frac{(5x+1)^2}{(5x+1)(x-3)}=\frac{5x+1}{x-3},$$
$$5x^2-14x-3=(5x+1)(x-3),\quad x\ne -\frac15,\,3.$$
Найдём точки пересечения графиков $$y=2x^2$$ и $$y=3x+2$$:
$$2x^2=3x+2,$$
$$2x^2-3x-2=0.$$
$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=2.$$
$$y_1=2\left(-\frac12\right)^2=\frac12,\quad y_2=2\cdot 2^2=8.$$
Точки пересечения: $$\left(-\frac12;\frac12\right)$$ и $$\left(2;8\right).$$
Найдём точки пересечения графиков $$y=-\frac12 x^2$$ и $$y=\frac12 x-3$$:
$$-\frac12 x^2=\frac12 x-3,$$
$$-\frac12 x^2-\frac12 x+3=0.$$
Умножим на $$-2$$:
$$x^2+x-6=0.$$
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2.$$
$$y_1=-\frac12\cdot (-3)^2=-\frac92=-4{,}5,\quad y_2=-\frac12\cdot 2^2=-2.$$
Точки пересечения: $$(-3;-4{,}5)$$ и $$\left(2;-2\right).$$