Упр.594 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Пусть первому крану требуется $$x$$ ч, а второму — $$y$$ ч, чтобы наполнить бассейн по отдельности.

Тогда за 1 час первый кран наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а второй — $$\frac{1}{y}$$ бассейна.

По условию первый кран был открыт $$\frac{1}{3}y$$ часа, а второй — $$\frac{1}{3}x$$ часа. За это время было наполнено $$\frac{13}{18}$$ бассейна, значит:

$$\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}=\frac{13}{18}.$$

Кроме того, оба крана вместе наполняют бассейн за $$3\text{ ч }36\text{ мин}=\frac{18}{5}\text{ ч}$$, поэтому

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}=\frac{13}{18},\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$18xy$$, а второе — на $$18xy$$:

$$\begin{cases} 6y^2+6x^2=13xy,\\ 18y+18x=5xy. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$xy=3{,}6(x+y).$$

Подставим это в первое:

$$6(x^2+y^2)=13xy.$$

Так как $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$, получаем:

$$6\bigl((x+y)^2-2xy\bigr)=13xy,$$

$$6(x+y)^2=25xy.$$

Подставим $$xy=3{,}6(x+y)$$:

$$6(x+y)^2=25\cdot 3{,}6(x+y)=90(x+y).$$

Так как $$x+y>0$$, делим на $$x+y$$:

$$6(x+y)=90,$$

$$x+y=15.$$

Тогда $$x=15-y$$. Подставим в уравнение $$xy=3{,}6(x+y)$$:

$$y(15-y)=3{,}6\cdot 15=54,$$

$$y^2-15y+54=0.$$

$$(y-6)(y-9)=0,$$

$$y=6 \text{ или } y=9.$$

Тогда

$$x=15-6=9 \quad \text{или} \quad x=15-9=6.$$

Значит, один кран наполняет бассейн за $$6$$ ч, а другой — за $$9$$ ч.

Ответ

$$6\text{ ч и }9\text{ ч}.$$