Упр.591 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2024 года. Два восьмых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 4900 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 30 р. больше и истратил на билеты 3400 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом?
- Задание учебника 2013 года. Является ли точка $$A$$ точкой пересечения параболы $$y=x^2$$ и прямой:
1) $$y=-x-6$$, $$A(-3;9)$$;
2) $$y=5x-6$$, $$A(2;4)$$?
Пусть первый класс купил $$x$$ билетов по $$y$$ руб., тогда второй класс купил $$x-15$$ билетов по $$y+30$$ руб.
Составим систему:
$$\begin{cases} xy=4900,\\ (x-15)(y+30)=3400. \end{cases}$$
Раскроем скобки во втором уравнении:
$$xy+30x-15y-450=3400$$
$$xy+30x-15y=3850$$
Так как $$xy=4900$$, получаем:
$$4900+30x-15y=3850$$
$$30x-15y=-1050$$
$$2x-y=-70$$
$$y=2x+70$$
Подставим в первое уравнение:
$$x(2x+70)=4900$$
$$2x^2+70x-4900=0$$
$$x^2+35x-2450=0$$
Найдём корни:
$$D=35^2+4\cdot 2450=1225+9800=11025$$
$$\sqrt{11025}=105$$
$$x_1=\frac{-35-105}{2}=-70,\quad x_2=\frac{-35+105}{2}=35$$
Отрицательный корень не подходит, значит $$x=35$$.
Тогда
$$y=2\cdot 35+70=140$$
Следовательно, первый класс купил $$35$$ билетов по $$140$$ руб., а второй класс:
$$35-15=20$$
билетов по
$$140+30=170$$
руб.
Проверим, является ли точка $$A$$ точкой пересечения параболы $$y=x^2$$ и прямой.
1) $$y=-x-6,\ A(-3;9)$$.
Подставим $$x=-3$$ в уравнение параболы:
$$y=(-3)^2=9$$
Подставим $$x=-3$$ в уравнение прямой:
$$y=-(-3)-6=3-6=-3$$
Значения не совпадают, значит точка $$A$$ не является точкой пересечения.
2) $$y=5x-6,\ A(2;4)$$.
Подставим $$x=2$$ в уравнение параболы:
$$y=2^2=4$$
Подставим $$x=2$$ в уравнение прямой:
$$y=5\cdot 2-6=10-6=4$$
Значения совпадают, значит точка $$A$$ является точкой пересечения.
Ответ
Первый класс: $$35$$ билетов по $$140$$ руб.; второй класс: $$20$$ билетов по $$170$$ руб. 1) нет; 2) да.
